Question

1．如圖，已知點A是⊙O上一點，直線MN過點A，點B是MN上的另一點，點C是OB的中點，AC=$\frac{1}{2}$OB，若點P是⊙O上的一個動點，且∠OBA=30°，AB=$2\sqrt{3}$時，求△APC的面積的最大值．

Answer 1

分析 連接OA，過點O作OE⊥AC于E，延長EO交圓于點F，則P（F）E是△PAC的AC邊上的最大的高，根據(jù)已知及三角函數(shù)求得AC，PE的值，再根據(jù)三角形的面積公式求得△APC的面積的最大值．

解答 解：連接OA；
∵C是OB的中點，且AC=$\frac{1}{2}$OB，
∴∠OAB=90°，
∴∠AOB=60°，又AB=$2\sqrt{3}$，
∴OA=AC=2；
過點O作OE⊥AC于E，延長EO交圓于點F，則P（F）E是△PAC的AC邊上的最大的高；
在△OAE中，OA=2，∠AOE=30°，
∴OE=$\sqrt{3}$，
∴FE=2+$\sqrt{3}$，
∴△APC的面積的最大值為$\frac{1}{2}$×AC×FE=2$+\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是切線的判定和性質、圓的有關性質，正確作出輔助性、靈活運用相關定理是解題的關鍵．