Question

11．已知拋物線y=-x²-2mx+4m+6，當(dāng)實(shí)數(shù)m的值為-2 時(shí)，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)和它的頂點(diǎn)所組成的三角形面積最小，其最小值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-m，m²+4m+6），根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=-2m，αβ=-（4m+6），求得拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)和它的頂點(diǎn)所組成的三角形面積=$\frac{1}{2}$•（m²+4m+6）•2$\sqrt{（m+2）^{2}+2}$=[（m+2）²+2]•$\sqrt{（m+2）^{2}+2}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：y=-x²-2mx+4m+6=-（x+m）²+m²+4m+6，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-m，m²+4m+6），
設(shè)拋物線與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為（α，0），（β，0），則α、β為方程-x²-2mx+4m+6=0的兩實(shí)數(shù)解，
所以α+β=-2m，αβ=-（4m+6），則|α-β|=$\sqrt{（α+β）^{2}-4αβ}$=$\sqrt{4{m}^{2}+4（4m+6）}$=2$\sqrt{（m+2）^{2}+2}$，
所以拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)和它的頂點(diǎn)所組成的三角形面積=$\frac{1}{2}$•（m²+4m+6）•2$\sqrt{（m+2）^{2}+2}$=[（m+2）²+2]•$\sqrt{（m+2）^{2}+2}$，
因?yàn)閙=-2時(shí)，（m+2）²+2有最小值2，$\sqrt{（m+2）^{2}+2}$也有最小值$\sqrt{2}$，
所以拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)和它的頂點(diǎn)所組成的三角形面積的最小值為2$\sqrt{2}$．
故答案為：-2，2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，求最小值問(wèn)題，能確定代數(shù)式的最小值是解題的關(guān)鍵．