Question

19．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，CD⊥AB，垂足為D，點E是點D關于AC的對稱點，連接AE，CE．

（1）求CD和AD的長；
（2）若將△ACE沿著射線AB方向平移，設平移的距離為m（平移距離指點A沿AB方向所經(jīng)過的線段長度），當點E平移到線段AC上時，求m的值；
（3）如下圖，將△ACE繞點A順時針旋轉-個角α（0°＜α＜180°），記旋轉中的△ACE為△AC′E′，在旋轉過程中，設C′E′所在的直線與直線BC交于點P，與直線AB交于點Q，若存在這樣的P，Q兩點，使△BPQ為等腰三角形，直接寫出此時AQ的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理和三角形ABC的面積的兩種算法直接求解；
（2）平移到點D到AC時，點A到D的位置，根據(jù)平移的性質直接求解；
（3）根據(jù)題意畫出滿足條件的圖形，根據(jù)勾股定理和等腰三角形的性質直接求解．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AC=15，BC=20，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=25，tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{4}$
∵CD⊥AB，
∴CD=$\frac{AC×BC}{AB}$=12，
根據(jù)勾股定理得，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=9，
（2）如圖1，

∵點E是點D關于AC的對稱點，
∴DE⊥AC，AE=AD，
∵點E落在AC上，
∴點A落在點D位置，
由平移的性質，EF=AD=m，
（3）由（1）得，AE'=AD=9，
在Rt△AEC中，AC=15，
∴EC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=12，
①旋轉的過程中，C'E'和線段BC相交，AB的延長線相交時，
如圖2，

由旋轉得，AC'=AC=15，∠CAE'=∠BAC'，
∵∠AE'C'=∠C=90°，∠AFE'=∠PFC，
∴∠CAE'=∠CPF，
∴∠BAC'=∠CPF，
∵∠CPF=∠BPQ，
∴∠BAC'=∠BPQ，
∵△BPQ為等腰三角形，且∠CBQ是鈍角，
∴BP=BQ，
∴∠BPQ=∠BQP，
∴∠BAC'=∠BQP，
∴C'Q=AC'=15，
在Rt△AE'Q中，AE'=AE=AD=9，E'Q=EC+C'Q=E'C'+AC'=12+15=27，
∴AQ=$\sqrt{AE{'}^{2}+E'{Q}^{2}}$=9$\sqrt{10}$，
②如圖3，

∵△BPQ為等腰三角形，
∴∠PBQ=∠BPQ，
∵∠BPQ+∠E'FA=90°，∠E'AF+∠E'FA=90°，
∴∠E'AF=∠ABC，
∵tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{4}$
∵tan∠E'AF=$\frac{E'F}{AE'}$=$\frac{E'F}{9}=\frac{3}{4}$，
∴E'F=$\frac{27}{4}$，
根據(jù)勾股定理得，AF=$\frac{45}{4}$，∴CF=AC-AF=15-$\frac{45}{4}$=$\frac{15}{4}$，
在Rt△CPF中，tan∠BPQ=$\frac{CF}{PC}=\frac{3}{4}$，∴PC=$\frac{4}{3}$CF=5，∴BP=BC+PC=25，PF=$\sqrt{P{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\frac{25}{4}$
∴PG=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{25}{2}$，∵CF∥QG，∴$\frac{PF}{PQ}=\frac{PC}{PG}$，∴$\frac{\frac{25}{4}}{PQ}=\frac{5}{\frac{25}{2}}$，∴PQ=$\frac{125}{8}$，
∴AQ=AB-BQ=AB-PQ=$\frac{75}{8}$，
③如圖4，

旋轉的過程中，C'E'和線段BC，AB相交時，
Ⅰ、當∠BQP=∠PBQ時，
∵∠PBQ=∠AC'E'，∠BQP=∠AQC'，
∴∠AC'E'=∠AQC'，
∴AQ=AC'=AC=15，
Ⅱ、當∠BPQ=∠BQP時，
∵∠BPQ=∠AC'E'，
∴∠C'AQ=∠C'QA，
∴C'Q=C'A=15，
∴QE'=C'Q-C'E'=15-12=3，
根據(jù)勾股定理得，AQ=$\sqrt{AE{'}^{2}+E'{Q}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
即滿足條件的AQ的長為9$\sqrt{10}$，$\frac{75}{8}$，15，3$\sqrt{10}$．

點評 .此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰三角形的性質，直角三角形的性質，解本題的關鍵是用等腰三角形的性質求AQ，根據(jù)題意畫出圖形是本題的難點．