Question

【題目】（如圖 1，若拋物線 l1 的頂點 A 在拋物線 l2 上，拋物線 l2 的頂點 B 也在拋物線 l1 上（點 A 與點 B 不重合）．我們稱拋物線 l1，l2 互為“友好”拋物線，一條拋物線的“友 好”拋物線可以有多條．

（1）如圖2，拋物線 l3： 與y 軸交于點C，點D與點C關于拋物線的對稱軸對稱，則點 D 的坐標為 ；

（2）求以點 D 為頂點的 l3 的“友好”拋物線 l4 的表達式，并指出 l3 與 l4 中y 同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍；

（3）若拋物線 y＝a1(x－m)2＋n 的任意一條“友好”拋物線的表達式為 y＝a2(x－h)2＋k， 寫出 a1 與a2的關系式，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的函數表達式為，；（3），理由詳見解析

【解析】

（1）設x=0，求出y的值，即可得到C的坐標，根據拋物線L3：得到拋物線的對稱軸，由此可求出點C關于該拋物線對稱軸對稱的對稱點D的坐標；

（2）由（1）可知點D的坐標為（4，1），再由條件以點D為頂點的L3的“友好”拋物線L4的解析式，可求出L4的解析式，進而可求出L3與L4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍；
（3）根據：拋物線L1的頂點A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點B也在拋物線L1上，可以列出兩個方程，相加可得（a1+a2）（h-m）2=0．可得．

解：（1）∵拋物線l3：，
∴頂點為（2，-1），對稱軸為x=2，
設x=0，則y=1，
∴C（0，1），
∴點C關于該拋物線對稱軸對稱的對稱點D的坐標為：（4，1）；

（2）解：設的函數表達式為

由“友好”拋物線的定義，過點

的函數表達式為

與中同時隨增大而增大的自變量的取值范圍是

（3）

理由如下：

∵ 拋物線與拋物線互為“友好”拋物線，

①+②得：