【題目】如圖1,若順次連接四邊形ABCD各邊中點得的四邊形EFGH是矩形,則稱原四邊形ABCD為“中母矩形”即若四邊形的對角線互相垂直,那么這個四邊形稱為“中母矩形”.

1)如圖2,在直角坐標系xOy中,已知A40),B1,4),C4,6),請在格點上標出D點的位置(只標一點即可),使四邊形ABCD是中母矩形.并寫出點D的坐標.

2)如圖3,以△ABC的邊AB,AC為邊,向三角形外作正方形ABDEACFG,連接CE,BG相交于點O,試判斷四邊形BEGC是中母矩形?說明理由.

3)如圖4,在RtABC中,AB8,BC6E是斜邊AC的中點,F是直角邊AB的中點,P是直角邊BC上一動點,試探究:當PC_____時,四邊形BPEF是中母矩形?(直角三角形中,30°角所對的直角邊是斜邊的一半)

【答案】1)圖詳見解析,D6,4);(2)詳見解析;(3.

【解析】

1)根據(jù)中母矩形的定義進而得出當BDx軸時,D在線段AC右側(cè)即可;(2)利用正方形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定方法得出△EAC≌△GABSAS),進而得出ECBG,得出答案即可;(3)根據(jù)中位線的性質(zhì)可得EF的長,利用“中母矩形”的定義結(jié)合相似三角形的性質(zhì)與判定可得出BP的長,進而可得PC的長.

1)如圖2所示:點D即為所求,D6,4);

2)如圖3,

∵四邊形ABDEACFG是正方形,

∴∠EAB=∠GAC90°,AGAC,AEAB

∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC=∠GAB

在△EAC和△GAB

∴△EAC≌△GABSAS),

∴∠ABG=∠AEC,

∴∠AEC+∠AHE=∠ABG+∠BHO90°,

ECBG,

∴四邊形BEGC是中母矩形;

3)如圖4,連接BE,作FPBEO,交BCP,連接EP

∴四邊形BPEF是中母矩形,

∵∠FPB+∠BFP90°,∠EBF+∠BFP90°,

∴∠FPB=∠FBE,

E是斜邊AC的中點,F是直角邊AB的中點,

EF//BC,BFAB=4,EFBC=3

∠FBC=90°,

∠EFB=180°-90°=90°

∠EFB=∠FBP=90°

∴△BFE∽△PBF,

,

PC=BC-BP=6-=

即當PBC邊上,PC=時,四邊形BPEF是中母矩形.

故答案為:

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2)負數(shù)集合:{};

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