Question

【題目】已知拋物線(xiàn)C1：y=ax2+bx﹣ （a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和B（﹣3，0）．
（1）求拋物線(xiàn)C1的解析式，并寫(xiě)出其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）如圖1，把拋物線(xiàn)C1沿著直線(xiàn)AC方向平移到某處時(shí)得到拋物線(xiàn)C2 ， 此時(shí)點(diǎn)A，C分別平移到點(diǎn)D，E處．設(shè)點(diǎn)F在拋物線(xiàn)C1上且在x軸的上方，若△DEF是以EF為底的等腰直角三角形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

（3）如圖2，在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)M是線(xiàn)段BC上一動(dòng)點(diǎn)，EN⊥EM交直線(xiàn)BF于點(diǎn)N，點(diǎn)P為線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)：①tan∠ENM的值如何變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；②點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線(xiàn)C1：y=ax2+bx﹣ （a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和B（﹣3，0），

∴ 解得 ，

∴拋物線(xiàn)C1的解析式為y= x2+x﹣ ，

∵y= x2+x﹣ = （x+1）2﹣2，

∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）；

（2）解：如圖1，作CH⊥x軸于H，

∵A（1，0），C（﹣1，﹣2），

∴AH=CH=2，

∴∠CAB=∠ACH=45°，

∴直線(xiàn)AC的解析式為y=x﹣1，

∵△DEF是以EF為底的等腰直角三角形，

∴∠DEF=45°，

∴∠DEF=∠ACH，

∴EF∥y軸，

∵DE=AC=2 ，

∴EF=4，

設(shè)F（m， m2+m﹣ ），則E（m，m﹣1），

∴（﹣ m2+m﹣ ）﹣（m﹣1）=4，

解得m=﹣3（舍）或m=3，

∴F（3，6）；

（3）解：①tan∠ENM的值為定值，不發(fā)生變化；

如圖2中，作EG⊥AC，交BF于G，

∵DF⊥AC，BC⊥AC，

∴DF∥BC，

∵DF=BC=AC，

∴四邊形DFBC是平行四邊形，

∵∠CDF=90°，

∴四邊形DFBC是矩形，

∴EG=BC=AC=2 ，

∵EN⊥EM，

∴∠MEN=90°，

∵∠CEG=90°，

∴∠CEM=∠NEG，

∴△ENG∽△EMC，

∴ = ，

∵F（3，6），EF=4，

∴E（3，2），

∵C（﹣1，﹣2），

∴EC=4 ，

∴ = =2，

∴tan∠ENM= =2；

∵tan∠ENM的值為定值，不發(fā)生變化；

②如圖3﹣1中，

∵直角三角形EMN中，PE= MN，直角三角形BMN中，PB= MN，

∴PE=PB，

∴點(diǎn)P在EB的垂直平分線(xiàn)上，

∴點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑是線(xiàn)段PP′，如圖3﹣2，

當(dāng)點(diǎn)M與B重合時(shí)，

∵△EGN∽△ECB，

∴ = ，

∵EC=4 ，EG=BC=2 ，

∴EB=2 ，

∴ = ，

∴EN= ，

∵P1P2是△BEN的中位線(xiàn)，

∴P1P2= EN= ；

∴點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)為 ．

【解析】（1）用待定系數(shù)法即可求得解析式，把解析式化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)A、C點(diǎn)的坐標(biāo)求得直線(xiàn)AC的解析式為y=x﹣1，根據(jù)題意的EF=4，求得EF∥y軸，設(shè)F（m， m2+m﹣ ），則E（m，m﹣1），從而得出（﹣ m2+m﹣ ）﹣（m﹣1）=4，解方程即可求得F的坐標(biāo)；（3）先求得四邊形DFBC是平行矩形，作EG⊥AC，交BF于G，然后判斷出△ENG∽△EMC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得tan∠ENM的值，②首先證明點(diǎn)P在EB的垂直平分線(xiàn)上，推出點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑是線(xiàn)段PP，當(dāng)點(diǎn)M與B重合時(shí)，根據(jù)勾股定理和三角形相似求得EN，然后根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理即可求得。