Question

【題目】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，點E在DC上，AE，BC的延長線相交于點F，若AE=10，則S△ADE+S△CEF的值是______ .

Answer 1

【答案】30或48

【解析】

如圖，首先把梯形補成正方形，然后把△BEC旋轉(zhuǎn)到△BMN的位置，根據(jù)它們條件容易證明：△ANB和△ABE全等，故AE=AN=10，設(shè)CE=x，然后用x表示AM，AD，DE在根據(jù)△ADE是直角三角形利用勾股定理建立關(guān)于x的方程，解方程求出x，就可以求出S△ADE+S△CEF的值．

如圖，延長DA，過B作BM⊥DA，交其延長線于M．

∴四邊形DCBM是正方形，

∴DM=BC=CD=12，再把△BEC旋轉(zhuǎn)到△BMN的位置，

∴BN=BE，∠EBC=∠MBN，CE=MN

∵∠ABE=45°

∴∠EBC+∠ABM=90°-45°=45°

∴∠ABN=∠ABM+∠MBN=45°，AB公共

∴△ABN≌△ABE

∴AN=AE=10，設(shè)CE=x，那么MN=x，DE=CD-CE=12-x，AM=10-x，AD=12-AM=2+x，

在Rt△ADE中：AD2+DE2=AE2

∴（2+x）2+（12-x）2=102

∴x1=4，x2=6，

當x=4時，CE=4，DE=8，AD=6

∵AD∥CF

∴△ADE∽△FCE，

∴，

∴CF=3，

∴S△ADE+S△CEF=30；

當x=6時，CE=6，DE=6，AD=8

∵AD∥CF

∴△ADE∽△FCE

∴，

∴CF=8

∴S△ADE+S△CEF=48．

綜上所述，S△ADE+S△CEF的值是30或48．

故答案為：30或48．