Question

【題目】拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè))，且A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2，0)，(8，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，-4)，連接BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對(duì)稱(chēng)中心作菱形BDEC，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線L交拋物線于點(diǎn)Q，交BD于點(diǎn)M.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形?

(3)位于第四象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得△BCN的面積最大?若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，及△BCN面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) 拋物線解析式為y=x2-x-4；(2) 當(dāng)m=4時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形； (3) S△BCN= 8.

【解析】

（1）用待定系數(shù)法直接求出拋物線解析式；
（2）由菱形的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可求直線BD的解析式，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得關(guān)于m的方程，求得m的值；再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形CQMD的形狀；
（3）先判斷出點(diǎn)N在平行于BC且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的位置，確定出點(diǎn)N的坐標(biāo)，用面積和差求出三角形BCN的面積．

(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

根據(jù)題意得，

∴拋物線解析式為y=x2-x-4.

(2)∵C(0，-4)，

∴由菱形的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，4).

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b'，則解得k=-，b'=4.

∴直線BD的解析式為y=-x+4.

∵l⊥x軸，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.

如圖，當(dāng)MQ=DC時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，

∴=4-(-4).化簡(jiǎn)得m2-4m=0，解得m1=0(不合題意舍去)，m2=4.

∴當(dāng)m=4時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形.

(3)存在，理由:

當(dāng)過(guò)點(diǎn)N平行于直線BC的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△BCN的面積最大.

∵B(8，0)，C(0，-4)，

∴BC=4.直線BC解析式為y=x-4，設(shè)過(guò)點(diǎn)N平行于直線BC的直線L解析是為y=x+n①，

∵拋物線解析式為y=x2-x-4②，聯(lián)立①②得，x2-8x-4(n+4)=0，③

∴Δ=64+16(n+4)=0，

∴n=-8，

∴直線L解析式為y=x-8，將n=-8代入③中得，x2-8x+16=0

∴x=4，

∴y=-6，

∴N(4，-6)，

如圖，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥AB，

∴S△BCN=S四邊形OCNG+S△MNG-S△OBC=(4+6)×4+(8-4)×6-×8×6=8.