【題目】如圖,正三角形ABC內(nèi)接于⊙O,P是BC上的一點(diǎn),且PB<PC,PA交BC于E,點(diǎn)F是PC延長(zhǎng)線上的點(diǎn),CF=PB,AB=,PA=4.
(1)求證:△ABP≌△ACF;
(2)求證:AC2=PAAE;
(3)求PB和PC的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)PB=1,PC=3.
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC,再利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ACF=∠ABP,于是可根據(jù)“SAS”判斷△ABP≌△ACF;
(2)先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=60°,再根據(jù)圓周角定理得∠APC=∠ABB=60°,加上∠CAE=∠PAC,于是可判斷△ACE∽△APC,然后利用相似比即可得到結(jié)論;
(3)先利用AC2=PAAE計(jì)算出AE= ,則PE=AP-AE= ,再證△APF為等邊三角形,得到PF=PA=4,則有PC+PB=4,接著證明△ABP∽△CEP,得到PBPC=PEA=3,然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,可把PB和PC看作方程x2-4x+3=0的兩實(shí)數(shù)解,再解此方程即可得到PB和PC的長(zhǎng).
試題解析:
(1)∵∠ACP+∠ABP=180°,
又∠ACP+∠ACF=180°,
∴∠ABP=∠ACF
在和中,
∵AB=AC,∠ABP=∠ACF,
∴≌.
(2)在和中,
∵∠APC=∠ABC,
而是等邊三角形,故∠ACB=∠ABC=60,
∴∠ACE =∠APC .
又∠CAE =∠PAC ,
∴∽
∴,即.
由(1)知≌,
∴∠BAP=∠CAF,
∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC
∴∠PAF=∠BAC=60°,又∠APC=∠ABC=60°.
∴是等邊三角形
∴AP=PF
∴
在與中,
∵∠BAP=∠ECP ,
又∠APB=∠EPC=60°,
∴∽
∴,即
由(2),
∴
∴
∴
因此PB和PC的長(zhǎng)是方程的解.
解這個(gè)方程,得, .
∵PB<PB,∴PB=,PC=,
∴PB和PC的長(zhǎng)分別是1和3。
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【題目】運(yùn)算結(jié)果是x4y2-2x2y+1的是( )
A. (-1+x2y2)2B. (1+x2y2)2
C. (-1+x2y)2D. (-1-x2y)2
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【題目】在如圖的坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)y=2與y=2x+6的圖象,并結(jié)合圖象求:
(1)方程2x+6=0的解;
(2)不等式2x+6>2的解集.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,E,F 分別是AB,BC邊上的點(diǎn),且∠EDF=45°.將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DCM.
(1)求證:EF=FM;
(2)當(dāng)AE=1時(shí),求EF的長(zhǎng).
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【題目】2016年4月21日在深圳體育館召開(kāi)的第八屆中國(guó)(深圳)國(guó)際茶業(yè)文化博覽會(huì)上某茶商將甲、乙兩種茶葉賣出,甲種茶葉賣出1200元,盈利20%,乙種茶葉賣出1200元,虧損20%,則此人在這次交易中是( )
A.盈利50元
B.盈利100元
C.虧損150元
D.虧損100元
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【題目】小剛家裝修,準(zhǔn)備安裝照明燈.他和爸爸到市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查,了解到某種優(yōu)質(zhì)品牌的一盞40瓦白熾燈的售價(jià)為1.5元,一盞8瓦節(jié)能燈的售價(jià)為22.38元,這兩種功率的燈發(fā)光效果相當(dāng).假定電價(jià)為0.45元/度,設(shè)照明時(shí)間為x(小時(shí)),使用一盞白熾燈和一盞節(jié)能燈的費(fèi)用分別為y1(元)和y2(元)[耗電量(度)=功率(千瓦)×用電時(shí)間(小時(shí)),費(fèi)用=電費(fèi)+燈的售價(jià)].
(1)分別求出y1,y2與照明時(shí)間x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(2)你認(rèn)為選擇哪種照明燈合算?
(3)若一盞白熾燈的使用壽命為2000小時(shí),一盞節(jié)能燈的使用壽命為6000小時(shí),如果不考慮其他因素,以6000小時(shí)計(jì)算,使用哪種照明燈省錢?省多少錢?
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