【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=﹣bx,其中a、b、c,滿足a>b>c,a+b+c=0.
(1)求證:這兩個(gè)函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn);
(2)設(shè)這兩個(gè)函數(shù)的圖象交于A,B兩點(diǎn),作AA1⊥x軸于A1,BB1⊥x軸于B1,求線段A1B1的長(zhǎng)的取值范圍.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)<A1B1<2.
【解析】
(1)把兩個(gè)函數(shù)聯(lián)立成方程組,轉(zhuǎn)化為解一元二次方程,用根的判別式求解即可;
(2)A1B12=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2,用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為含a、b、c的式子,再配方求解.
(1)證明:聯(lián)立方程得:ax2+2bx+c=0,
△=4(b2-ac),
∵a>b>c,a+b+c=0,
∴a>0,c<0,
∴ac<0,
∴△>0,
∴兩函數(shù)的圖象相交于不同的兩點(diǎn);
(2)解:設(shè)方程ax2+2bx+c=0的兩根為x1,x2,則
A1B12=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2,
=(﹣)2﹣==,
=4[()2++1],
=4[()2+],
∵a>b>c,a+b+c=0,
∴b=﹣(a+c),
∴a>﹣(a+c)>c,a>0,
∴﹣2<<﹣,
此時(shí)3<A1B12<12,
∴<A1B1<2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商店銷售一種商品,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)査發(fā)現(xiàn),該商品的周銷售量y(件)是售價(jià)x(元/件)的一次函數(shù).其售價(jià)、周銷售量、周銷售利潤(rùn)w(元)的三組對(duì)應(yīng)值如表:
售價(jià)x(元/件) | 50 | 60 | 80 |
周銷售量y(件) | 100 | 80 | 40 |
周銷售利潤(rùn)w(元) | 1000 | 1600 | 1600 |
注:周銷售利潤(rùn)=周銷售量×(售價(jià)﹣進(jìn)價(jià))
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式_____;
(2)當(dāng)售價(jià)是_____元/件時(shí),周銷售利潤(rùn)最大.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(7分)某中學(xué)1000名學(xué)生參加了”環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽“,為了了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況,從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)(得分取整數(shù),滿分為100分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并制作了如圖頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖(不完整且局部污損,其中“■”表示被污損的數(shù)據(jù)).請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
成績(jī)分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
50≤x<60 | 8 | 0.16 |
60≤x<70 | 12 | a |
70≤x<80 | ■ | 0.5 |
80≤x<90 | 3 | 0.06 |
90≤x≤100 | b | c |
合計(jì) | ■ | 1 |
(1)寫(xiě)出a,b,c的值;
(2)請(qǐng)估計(jì)這1000名學(xué)生中有多少人的競(jìng)賽成績(jī)不低于70分;
(3)在選取的樣本中,從競(jìng)賽成績(jī)是80分以上(含80分)的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)參加環(huán)保知識(shí)宣傳活動(dòng),求所抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一組的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知A1,A2,A3是拋物線y=x2+1(x>0)上的三點(diǎn),且A1,A2,A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為連續(xù)的整數(shù),連接A1A3,過(guò)A2作A2Q⊥x軸于點(diǎn)Q,交A1A3于點(diǎn)P,則線段PA2的長(zhǎng)為__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm.動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上從點(diǎn)B向C運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿折線C→D→A運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s.當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s),△BPQ的面積為S(cm2),則描述S(cm2)與時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是( )
A.B.
C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題情境:如圖①,P是⊙O外的一點(diǎn),直線PO分別交⊙O于點(diǎn)A、B,可以發(fā)現(xiàn)PA是點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最短距離.
(1)直接運(yùn)用:如圖②,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC為直徑的半圓交AB于D,P是弧CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AP,則AP的最小值是 .
(2)構(gòu)造運(yùn)用:如圖③,在邊長(zhǎng)為8的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD邊的中點(diǎn),N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn),將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN,連接A′C,請(qǐng)求出A′C長(zhǎng)度的最小值.
(3)綜合運(yùn)用:如圖④,平面直角坐標(biāo)系中,分別以點(diǎn)A(﹣2,3),B(3,4)為圓心,分別以1、2為半徑作⊙A、⊙B,M、N分別是⊙A、⊙B上的動(dòng)點(diǎn),P為x軸上的動(dòng)點(diǎn),則PM+PN的最小值等于 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為倡導(dǎo)“低碳生活”,常選擇以自行車作為代步工具.如圖1所示是一輛自行車的實(shí)物圖,車架檔AC與CD的長(zhǎng)分別為45cm,60cm,且它們互相垂直,座桿CE的長(zhǎng)為20cm,車輪半徑28cm,點(diǎn)A,C,E在同一條直線上,且∠CAB=75°,如圖2
圖1 圖2
(1)求車座點(diǎn)E到地面的距離;(結(jié)果精確到1cm)
(2)求車把點(diǎn)D到車架檔直線AB的距離.(結(jié)果精確到1cm).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-8.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為C,交直線AB于點(diǎn)D,作PE⊥AB于點(diǎn)E.
①設(shè)△PDE的周長(zhǎng)為l,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求出l的最大值;
②連接PA,以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG.隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),正方形的大小、位置也隨之改變.當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí),直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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