Question

【題目】將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如圖1擺放，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P，DF經(jīng)過點(diǎn)C，且BC=2.

（1）求證：△ADC∽△APD；

（2）求△APD的面積；

（3）如圖2，將△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜60°），此時(shí)的等腰直角三角尺記為△DE′F′，DE′交AC于點(diǎn)M，DF′交BC于點(diǎn)N，試判斷的值是否隨著α的變化而變化？如果不變，請(qǐng)求出的值；反之，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) ;(3) 不會(huì)隨著α的變化而變化

【解析】

（1）先判斷出△BCD是等邊三角形，進(jìn)而求出∠ADP=∠ACD，即可得出結(jié)論；
（2）求出PH，最后用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）只要證明△DPM和△DCN相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證明．

（1）證明：∵△ABC是直角三角形，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴AD=BD=CD，

∵在△BCD中，BC=BD且∠B=60°，

∴△BCD是等邊三角形，

∴∠BCD=∠BDC=60°，

∴∠ACD=90°－∠BCD=30°，

∠ADE=180°－∠BDC－∠EDF=30°，

在△ADC與△APD中，∠A=∠A，∠ACD=∠ADP，

∴△ADC∽△APD.

（2）由（1）已得△BCD是等邊三角形，∴BD=BC=AD=2，

過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，

∵∠ADP=30°=90°－∠B=∠A，

∴AH=DH=1， tanA=，

∴PH=.

∴△APD的面積=AD·PH=

（3）的值不會(huì)隨著α的變化而變化.

∵∠MPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠MPD=∠BCD=60°，

在△MPD與△NCD中，∠MPD=∠NCD=60°，∠PDM=∠CDN=α，

∴△MPD∽△NCD，∴，

由（1）知AD=CD，∴，

由（2）可知PD=2AH，∴PD=，

∴．

∴的值不會(huì)隨著α的變化而變化.