【題目】矩形ABCD中,AB=3,BC=4.點(diǎn)P在線段AB或線段AD上,點(diǎn)Q中線段BC上,沿直線PQ將矩形折疊,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E.

(1)如圖1,點(diǎn)P、點(diǎn)E在線段AD上,點(diǎn)Q在線段BC上,連接BP、EQ.

①求證:四邊形PBQE是菱形.

②四邊形PBQE是菱形時(shí),AP的取值范圍是  

(2)如圖2,點(diǎn)P在線段AB上,點(diǎn)Q在線段AD上,點(diǎn)E在線段AD上,若AE=,求折痕PQ的長.

(3)點(diǎn)P在線段AB,AP=2,點(diǎn)Q在線段BC上,連AE、CE.請直接寫出四邊形AECD的面積的最小值是  

【答案】(1)①見解析;0≤AP≤ ;( 2);(3)7.5.

【解析】

1)①先根據(jù)所給條件證明POE≌△QOB,進(jìn)而證明四邊形PEBQ是平行四邊形,再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形四邊形是菱形來證明四邊形PEBQ是菱形;②考慮AP最小值和最大值時(shí)P點(diǎn)的位置,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),AP最小,當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)D重合時(shí),AP最大,由勾股定理求出最大值;(2)連接PE,EQ,過點(diǎn)QQFADF,由折疊知,PB=PE,PEQ=B=90°,再設(shè)AP的長為x,根據(jù)勾股定理列方程求解,得到APPE的長,然后根據(jù)兩個角相等證明APE∽△FEQ,進(jìn)而求出EQ的值,再根據(jù)勾股定理求出PQ;(3)如圖3,連接AC,根據(jù)勾股定理求出AC的值,再連接PE,過點(diǎn)EEGACG,可得S四邊形AECD=SACD+SACE=6+EG,EG最小時(shí),四邊形AECD的面積最小,確定EG最小時(shí)的情況,求出EG的最小值,即可得到四邊形AECD的最小值.

解(1)①由折疊知,PB=PE,PQ垂直平分BE,

OB=OE,

∵∠POE=BOQ,EPO=OQB,

∴△POE≌△QOB,

PE=BQ,

ADBC,

∴四邊形PBQE是平行四邊形,

PB=PE,

PBQE是菱形;

②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),AP=0,

當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)D重合時(shí),DP=BP=4﹣AP,

RtABP中,BP2﹣AP2=AB2,

(4﹣AP)2﹣AP2=9,

AP=,

0≤AP≤,

故答案為:0≤AP≤;

(2)如圖2,連接PE,EQ,過點(diǎn)QQFADF,

由折疊知,PB=PE,PEQ=B=90°,

設(shè)AP=x,

PB=PE=3﹣x,

根據(jù)勾股定理得,x2+5=(3﹣x)2,

x=,AP=,PE=,

∵∠AEP+PEQ=90°,AEP+APE=90°,

∴∠FEQ=APE,

∵∠EFQ=A=90°,

∴△APE∽△FEQ,

,

,

EQ=,

PQ==;

(3)如圖3,

連接AC,在RtACD中,AD=4,CD=3,

AC=5,

連接PE,過點(diǎn)EEGACG,

S四邊形AECD=SACD+SACE

=ADCD+ACEG

=×4×3+×5EG

=6+EG,

EG最小時(shí),四邊形AECD的面積最小,

由折疊知,PB=PE,

∴點(diǎn)E是以點(diǎn)P為圓心,PB=1為半徑的一段弧上,

∴點(diǎn)P,E,G在同一條線上時(shí),EG最小,

∵∠AGP=ABC=90°,PAG=CAB,

∴△PAG∽△CAB,

,

PG= ==

EG最小=PG﹣PE=﹣1=,

S四邊形AECD最小=6+EG最小=6+×=7.5,

故答案為:7.5.

練習(xí)冊系列答案
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設(shè)購買的文化衫件數(shù)為x(x為非負(fù)整數(shù)).

Ⅰ)根據(jù)題意,填寫下表:

購買的文化衫件數(shù)(件)

5

10

20

30

買文化衫所學(xué)費(fèi)用(元)

140

  

560

  

買相冊所需費(fèi)用(元)

800

  

500

  

Ⅱ)設(shè)購買文化衫和相冊所需費(fèi)用共W元,求W與購買的文化衫件數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式;

Ⅲ)通過商議,決定拿出不少于540元旦不超過570元的資金用于請專業(yè)人士牌照,其余則用于購買文化衫和相冊,購買文化衫和相冊有哪幾種方案?為使拍照的資金更充足,應(yīng)選擇哪種方案,并說明理由.

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