Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y＝（m≠0）的圖象交于點(diǎn)A（3，1），且過點(diǎn)B（0，﹣2）．

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如果點(diǎn)P是x軸上的一點(diǎn)，且△ABP的面積是3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若P是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且滿足PA＝OA，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝；y＝x﹣2；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，0)、(4，0)；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，0)或(0，2)．

【解析】

（1）將點(diǎn)A（3，1）代入y=，利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，再將點(diǎn)A（3，1）和B（0，-2）代入y=kx+b，利用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式；

（2）首先求得AB與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)S△ABP=S△ACP+S△BCP即可列方程求得P的橫坐標(biāo)；

（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)P在x軸上；②點(diǎn)P在y軸上．根據(jù)PA=OA，利用等腰三角形的對(duì)稱性求解．

（1）∵反比例函數(shù)y=（m≠0）的圖象過點(diǎn)A（3，1），

∴3=，解得m=3．

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=．

∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點(diǎn)A（3，1）和B（0，-2），

∴，

解得：，

∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x-2；

（2）如圖，設(shè)一次函數(shù)y=x-2的圖象與x軸的交點(diǎn)為C．

令y=0，則x-2=0，x=2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）．

∵S△ABP=S△ACP+S△BCP=3，

∴PC×1+PC×2=3，

∴PC=2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）、（4，0）；

（3）若P是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且滿足PA=OA，則P點(diǎn)的位置可分兩種情況：

①如果點(diǎn)P在x軸上，那么O與P關(guān)于直線x=3對(duì)稱，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0）；

②如果點(diǎn)P在y軸上，那么O與P關(guān)于直線y=1對(duì)稱，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）．

綜上可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0）或（0，2）．