Question

【題目】如圖，我市云臺(tái)山景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路a經(jīng)過三個(gè)景點(diǎn)A、B、C，現(xiàn)在市政府決定開發(fā)風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)D.經(jīng)測(cè)量景點(diǎn)D位于景點(diǎn)A的北偏東30方向12km處，位于景點(diǎn)B的正北方向，還位于景點(diǎn)C的北偏西75方向上．已知AB=km．

（1）現(xiàn)準(zhǔn)備由景點(diǎn)Ｄ向公路a修建一條距離最短的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長(zhǎng)；

（2）求出景點(diǎn)B與景點(diǎn)C之間的距離(結(jié)果保留根號(hào))．

Answer 1

【答案】（1）6km;（2）.

【解析】試題分析:(1) 過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥DB，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求DE的問題就可以轉(zhuǎn)化為求∠DBE的度數(shù)或三角函數(shù)值的問題;(2)Rt△DCE中根據(jù)三角函數(shù)就可以求出CD的長(zhǎng)．

試題解析: (1)如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，

過點(diǎn)A作AF⊥DB，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

在Rt△DAF中,∠ADF=30°，

∴AF=AD=×12=6，

∴DF===6，

在Rt△ABF中BF===2，

∴BD=DFBF=6-2=4，

sin∠ABF==，

在Rt△DBE中,sin∠DBE=，

∵∠ABF=∠DBE，

∴sin∠DBE=，

∴DE=BDsin∠DBE=×4=6(km)，

∴景點(diǎn)D向公路a修建的這條公路的長(zhǎng)約是6km；

(2)由題意可知∠CDB=75°，

由(1)可知sin∠DBE=,所以∠DBE=60°，

∴∠DCB=180°75°60°=45°，

在Rt△DCE中，CE=DE=6 (km)，

在Rt△DBE中, ∠BDE=75°-45°=30°,

∴BE=BD= (km),

∴BC=6+ (km)

∴景點(diǎn)B與景點(diǎn)C之間的距離為6+km.