Question

【題目】正方形ABCD中，E點(diǎn)為BC中點(diǎn)，連接AE，過B點(diǎn)作BF⊥AE，交CD于F點(diǎn)，交AE于G點(diǎn)，連接GD，過A點(diǎn)作AH⊥GD交GD于H點(diǎn)．

(1) 求證：△ABE≌△BCF；

(2) 若正方形邊長為4，AH=，求△AGD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】（1）易得∠1=∠3，這兩個三角形中都有一個角是直角，加上正方形的邊長相等，利用角邊角可得這兩個三角形全等；
（2）求得DG的長就可以求得△AGD的面積．易得F為CD的中點(diǎn)，延長BF交AD的延長線于點(diǎn)M，可構(gòu)造出△BCF≌△MDF，那么可得DM=BC=AD，就可以求得GD的長，也就求得了△AGD的面積．

解：證明：（1）正方形ABCD中，∠ABE=90°，∴∠1+∠2=90°，
又AE⊥BF，∴∠3+∠2=90°，則∠1=∠3，

又∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC
在△ABE和△BCF中，
∠1=∠3，AB=BC，∠ABE=∠BCF，∴△ABE≌△BCF（ASA）

（2）延長BF交AD延長線于M點(diǎn)，

∴∠MDF=90°
由（1）知△ABE≌△BCF，
∴CF=BE
∵E點(diǎn)是BC中點(diǎn)，
∴BE=BC，即CF=CD=FD，
在△BCF和△MDF中，
∠BCF=∠MDF，CF=DF，∠BFC=∠MFD，
∴△BCF≌△MDF（ASA）
∴BC=DM，即DM=AD，D是AM中點(diǎn)
又AG⊥GM，即△AGM為直角三角形，
∴GD=AM=AD
又∵正方形邊長為4，
∴GD=4
S△AGD=GDAH=×4×=．

“點(diǎn)睛”綜合考查了正方形的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)；利用正方形一邊的中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形是常用的輔助線方法，是解決本題的難點(diǎn)．