【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A和B(3,0),與y軸交于點C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點M是拋物線上在x軸下方的動點,過M作MN∥y軸交直線BC于點N,求線段MN的最大值;
(3)E是拋物線對稱軸上一點,F是拋物線上一點,是否存在以A,B,E,F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點F的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2);(3)存在.點F的坐標為(2,﹣1)或(0,3)或(4,3).
【解析】
(1)由點B、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)設(shè)出點M的坐標以及直線BC的解析式,由點B、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式,結(jié)合點M的坐標即可得出點N的坐標,由此即可得出線段MN的長度關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,再結(jié)合點M在x軸下方可找出m的取值范圍,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題;
(3)討論:當以AB為對角線,利用EA=EB和四邊形AFBE為平行四邊形得到四邊形AFBE為菱形,則點F也在對稱軸上,即F點為拋物線的頂點,所以F點坐標為(-1,-4);當以AB為邊時,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到EF=AB=4,則可確定F的橫坐標,然后代入拋物線解析式得到F點的縱坐標.
解:(1)將點B(3,0)、C(0,3)代入拋物線y=x2+bx+c中,
得: ,
解得:.
故拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3.
(2)設(shè)點M的坐標為(m,m2﹣4m+3),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3,
把點B(3,0)代入y=kx+3中,
得:0=3k+3,解得:k=﹣1,
∴直線BC的解析式為y=﹣x+3.
∵MN∥y軸,
∴點N的坐標為(m,﹣m+3).
∵拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴拋物線的對稱軸為x=2,
∴點(1,0)在拋物線的圖象上,
∴1<m<3.
∵線段MN=﹣m+3﹣(m2﹣4m+3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣)2+,
∴當m=時,線段MN取最大值,最大值為.
(3)存在.點F的坐標為(2,﹣1)或(0,3)或(4,3).
當以AB為對角線,如圖1,
∵四邊形AFBE為平行四邊形,EA=EB,
∴四邊形AFBE為菱形,
∴點F也在對稱軸上,即F點為拋物線的頂點,
∴F點坐標為(2,﹣1);
當以AB為邊時,如圖2,
∵四邊形AFBE為平行四邊形,
∴EF=AB=2,即F2E=2,F(xiàn)1E=2,
∴F1的橫坐標為0,F(xiàn)2的橫坐標為4,
對于y=x2﹣4x+3,
當x=0時,y=3;
當x=4時,y=16﹣16+3=3,
∴F點坐標為(0,3)或(4,3).
綜上所述,F點坐標為(2,﹣1)或(0,3)或(4,3).
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【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB為直徑,D是⊙O上一點,且弧CB=弧CD,CE⊥DA交DA的延長線于點E.
(1)求證:∠CAB=∠CAE;
(2)求證:CE是⊙O的切線;
(3)若AE=1,BD=4,求⊙O的半徑長.
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【題目】如圖,、是的切線,切點分別為、,是的直徑,與相交于點,連接.下列結(jié)論:①;②;③若,則;④.其中正確的個數(shù)為( )
A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個
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【題目】已知點A在x軸負半軸上,點B在y軸正半軸上,線段OB的長是方程x2﹣2x﹣8=0的解,tan∠BAO=.
(1)求點A的坐標;
(2)點E在y軸負半軸上,直線EC⊥AB,交線段AB于點C,交x軸于點D,S△DOE=16.若反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點C,求k的值;
(3)在(2)條件下,點M是DO中點,點N,P,Q在直線BD或y軸上,是否存在點P,使四邊形MNPQ是矩形?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC與BD相交于點O,且對角線AC平分∠BCD,∠ACD=30°,BD=6.
(1)求證:△BCD是等邊三角形;(2)求AC的長(結(jié)果保留根號).
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【題目】某商店在2014年至2016年期間銷售一種禮盒.2014年,該商店用3500元購進了這種禮盒并且全部售完;2016年,這種禮盒的進價比2014年下降了11元/盒,該商店用2400元購進了與2014年相同數(shù)量的禮盒也全部售完,禮盒的售價均為60元/盒.
(1)2014年這種禮盒的進價是多少元/盒?
(2)若該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤的年增長率相同,問年增長率是多少?
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【題目】如圖,已知點,,且點B在雙曲線上,在AB的延長線上取一點C,過點C的直線交雙曲線于點D,交x軸正半軸于點E,且,則線段CE長度的取值范圍是
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,以B為圓心,AB為半徑作扇形ABC,交對角線BD于點E,過點E作⊙B的切線分別交AD,CD于G,F兩點,則圖中陰影部分的面積為( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖甲,AB⊥BD,CD⊥BD,AP⊥PC,垂足分別為B、P、D,且三個垂足在同一直線上,我們把這樣的圖形叫“三垂圖”.
(1)證明:ABCD=PBPD.
(2)如圖乙,也是一個“三垂圖”,上述結(jié)論成立嗎?請說明理由.
(3)已知拋物線與x軸交于點A(-1,0),B(3,0),與y軸交于點(0,-3),頂點為P,如圖丙所示,若Q是拋物線上異于A、B、P的點,使得∠QAP=90°,求Q點坐標.
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