Question

（2012•舟山）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是拋物線：y=x²上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限內(nèi)）．連接 OP，過點(diǎn)0作OP的垂線交拋物線于另一點(diǎn)Q．連接PQ，交y軸于點(diǎn)M．作PA丄x軸于點(diǎn)A，QB丄x軸于點(diǎn)B．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）如圖1，當(dāng)m=

2

時(shí)，
①求線段OP的長和tan∠POM的值；
②在y軸上找一點(diǎn)C，使△OCQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖2，連接AM、BM，分別與OP、OQ相交于點(diǎn)D、E．
①用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②求證：四邊形ODME是矩形．

Answer 1

分析：（1）①已知m的值，代入拋物線的解析式中可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；由此確定PA、OA的長，通過解直角三角形易得出結(jié)論．
②題干要求△OCQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形，所以分QO=OC、QC=QO、CQ=CO三種情況來判斷：
QO=QC時(shí)，Q在線段OC的垂直平分線上，Q、O的縱坐標(biāo)已知，C點(diǎn)坐標(biāo)即可確定；
QO=OC時(shí)，先求出OQ的長，那么C點(diǎn)坐標(biāo)可確定；
CQ=CO時(shí)，OQ為底，不合題意．
（2）①由∠QOP=90°，易求得△QBO∽△MOA，通過相關(guān)的比例線段來表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②在四邊形ODME中，已知了一個(gè)直角，只需判定該四邊形是平行四邊形即可，那么可通過證明兩組對(duì)邊平行來得證．

解答：解：（1）①∵把x=

2

代入 y=x²，得 y=2，
∴P（

2

，2），
∴OP=

6

∵PA丄x軸，
∴PA∥MO．
∴tan∠P0M=tan∠0PA=

OA

PA

=

2

2

．
②設(shè) Q（n，n²），
∵tan∠QOB=tan∠POM，
∴

n2

-n

=

2

2

．
∴n=-

2

2

∴Q（-

2

2

，

1

2

），
∴OQ=

3

2

．
當(dāng)OQ=OC時(shí)，則C₁（0，

3

2

），C₂（0，-

3

2

）；
當(dāng)OQ=CQ時(shí)，則C₃（0，1）；
當(dāng)CQ=CO時(shí)，OQ為底，不合題意．
綜上所述，當(dāng)△OCQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形時(shí)，所求點(diǎn)C坐標(biāo)為：C₁（0，

3

2

），C₂（0，-

3

2

），C₃（0，1）；

（2）①設(shè) Q（n，n²），
∵△APO∽△BOQ，
∴

BQ

AO

=

BO

AP

∴

n2

m

=

-n

m2

，得n=-

1

m

，
∴Q（-

1

m

，

1

m2

）．
②設(shè)直線PQ的解析式為：y=kx+b，把P（m，m²）、Q（-

1

m

，

1

m2

）代入，得：

m2= mk+b① 1 m2 =- 1 m k+b ②

，
①-②得：m²-

1

m2

=（m+

1

m

）k，
解得：k=m-

1

m

③，
把③代入①，得：b=1，
∴M（0，1）
∵

QB

MO

=

OB

AO

=

1

m2

，∠QBO=∠MOA=90°，
∴△QBO∽△MOA
∴∠MAO=∠QOB，
∴QO∥MA
同理可證：EM∥OD
又∵∠EOD=90°，
∴四邊形ODME是矩形．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，該題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，有：解直角三角形、相似三角形、等腰直角三角形的判定、矩形的判定等重要知識(shí)點(diǎn)；（1）②題中，要注意分類進(jìn)行討論，以免出現(xiàn)漏解、錯(cuò)解的情況．