Question

（2012•舟山）將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍，得△AB′C′，即如圖①，我們將這種變換記為[θ，n]．
（1）如圖①，對△ABC作變換[60°，

3

]得△AB′C′，則S_△AB′C′：S_△ABC=

3

；直線BC與直線B′C′所夾的銳角為

60

度；
（2）如圖②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，對△ABC 作變換[θ，n]得△AB′C′，使點B、C、C′在同一直線上，且四邊形ABB'C'為矩形，求θ和n的值；
（3）如圖③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，對△ABC作變換[θ，n]得△AB′C′，使點B、C、B′在同一直線上，且四邊形ABB′C′為平行四邊形，求θ和n的值．

Answer 1

分析：（1）由旋轉(zhuǎn)與相似的性質(zhì)，即可得S_△AB′C′：S_△ABC=3，然后由△ABN與△B′MN中，∠B=∠B′，∠ANB=∠B′NM，可得∠BMB′=∠BAB′，即可求得直線BC與直線B′C′所夾的銳角的度數(shù)；
（2）由四邊形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC，即可求得θ的度數(shù)，又由含30°角的直角三角形的性質(zhì)，即可求得n的值；
（3）由四邊形ABB′C′是平行四邊形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易得AB²=CB•BB′=CB（BC+CB′），繼而求得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：△ABC∽△AB′C′，
∴S_△AB′C′：S_△ABC=（

A′B′

AB

）²=（

3

）²=3，∠B=∠B′，
∵∠ANB=∠B′NM，
∴∠BMB′=∠BAB′=60°；
故答案為：3，60；

（2）∵四邊形 ABB′C′是矩形，
∴∠BAC′=90°．
∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90°-30°=60°．
在 Rt△ABB′中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，
∴∠AB′B=30°，
∴n=

AB′

AB

=2；

（3）∵四邊形ABB′C′是平行四邊形，
∴AC′∥BB′，
又∵∠BAC=36°，
∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°．
∴∠BB′A=∠BAC=36°，而∠B=∠B，
∴△ABC∽△B′BA，
∴AB：BB′=CB：AB，
∴AB²=CB•BB′=CB（BC+CB′），
而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，
∴AB²=1（1+AB），
∴AB=

1± 5

2

，
∵AB＞0，
∴n=

B′C′

BC

=

1+ 5

2

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．此題綜合性較強，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．