(2012•舟山)如圖,在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),連接CD,過點(diǎn)B作BG⊥CD,分別交CD,CA于點(diǎn)E,F(xiàn),與過點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G,連接DF,給出以下五個(gè)結(jié)論:
AG
AB
=
FG
FB
;②∠ADF=∠CDB;③點(diǎn)F是GE的中點(diǎn);④AF=
2
3
AB;⑤S△ABC=5S△BDF,
其中正確結(jié)論的序號是
①②④
①②④
分析:由△AFG∽△BFC,可確定結(jié)論①正確;
由△ABG≌△BCD,△AFG≌△AFD,可確定結(jié)論②正確;
由△AFG≌△AFD可得FG=FD>FE,所以點(diǎn)F不是GE中點(diǎn),可確定結(jié)論③錯(cuò)誤;
由△AFG≌△AFD可得AG=
1
2
AB=
1
2
BC,進(jìn)而由△AFG∽△BFC確定點(diǎn)F為AC的三等分點(diǎn),可確定結(jié)論④正確;
因?yàn)镕為AC的三等分點(diǎn),所以S△ABF=
1
3
S△ABC,又S△BDF=
1
2
S△ABF,所以S△ABC=6S△BDF,由此確定結(jié)論⑤錯(cuò)誤.
解答:解:依題意可得BC∥AG,
∴△AFG∽△BFC,∴
AG
BC
=
FG
FB
,
又AB=BC,∴
AG
AB
=
FG
FB

故結(jié)論①正確;
如右圖,∵∠1+∠3=90°,∠1+∠4=90°,∴∠3=∠4.
在△ABG與△BCD中,
∠3=∠4
AB=BC
∠BAG=∠CBD=90°
,
∴△ABG≌△BCD(ASA),
∴AG=BD,又BD=AD,∴AG=AD;
在△AFG與△AFD中,
AG=AD
∠FAG=∠FAD=45°
AF=AF
,
∴△AFG≌△AFD(SAS),∴∠5=∠2,
又∠5+∠3=∠1+∠3=90°,∴∠5=∠1,
∴∠1=∠2,即∠ADF=∠CDB.
故結(jié)論②正確;
∵△AFG≌△AFD,∴FG=FD,又△FDE為直角三角形,∴FD>FE,
∴FG>FE,即點(diǎn)F不是線段GE的中點(diǎn).
故結(jié)論③錯(cuò)誤;
∵△ABC為等腰直角三角形,∴AC=
2
AB;
∵△AFG≌△AFD,∴AG=AD=
1
2
AB=
1
2
BC;
∵△AFG∽△BFC,∴
AG
BC
=
AF
FC
,∴FC=2AF,
∴AF=
1
3
AC=
2
3
AB.
故結(jié)論④正確;
∵AF=
1
3
AC,∴S△ABF=
1
3
S△ABC;又D為中點(diǎn),∴S△BDF=
1
2
S△ABF
∴S△BDF=
1
6
S△ABC,即S△ABC=6S△BDF
故結(jié)論⑤錯(cuò)誤.
綜上所述,結(jié)論①②④正確,
故答案為:①②④.
點(diǎn)評:本題考查了等腰直角三角形中相似三角形與全等三角形的應(yīng)用,有一定的難度.對每一個(gè)結(jié)論,需要仔細(xì)分析,嚴(yán)格論證;注意各結(jié)論之間并非彼此孤立,而是往往存在邏輯關(guān)聯(lián)關(guān)系,需要善加利用.
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3
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4
3
π+2
3
4
3
π+2
3

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