Question

12．如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°，AC⊥x軸，頂點A（10，0），頂點B（5，5$\sqrt{3}$）．點P從點A出發(fā)，沿A→B→C的方向勻速運動，同時點Q從點D（0，2）出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運動，當(dāng)點P到達點C時，兩點同時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒．
（1）當(dāng)點P在AB上運動時，△OPQ的面積S與時間t（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖2），求點P的運動速度；
（2）求題（1）中面積S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式，及面積S取最大值時，點P的坐標(biāo)；
（3）如果點P，Q保持題（1）中的速度不變，當(dāng)t取何值時，PO=PQ？

Answer 1

分析 （1）如圖1，過B作BE⊥x軸于E，根據(jù)兩點間的距離公式可求AB，再利用圖2中的函數(shù)圖象，求得點P的運動時間與路程解決即可；
（2）利用特殊角的三角函數(shù)，三角形的面積以及配方法解決問題；
（3）分兩種情況：當(dāng)P在AB上時，當(dāng)P在BC上時，列方程解決問題．

解答 解：（1）如圖1，過B作BE⊥x軸于E，
∵頂點B的坐標(biāo)為（5，5$\sqrt{3}$），A（10，0），
∴AB=10，
由圖2可知，當(dāng)點P運動了5秒時，它到達點B，此時AB=10，
因此點P的運動速度為10÷5=2個單位/秒，
故點P的運動速度為2個單位/秒；

（2）如圖1，過P作PM⊥x軸于M，
∵點P的運動速度為2個單位/秒．
∴t秒鐘走的路程為2t，即AP=2t，
又∵∠APM=30°，
∴AM=t，
又∵OA=10，
∴OM=（10-t），即為三角形OPQ中OQ邊上的高，
∵DQ=2t，OD=2，
∴OQ=2t+2，
∴P（10-t，$\sqrt{3}$t）（0≤t≤5），
∵S=$\frac{1}{2}$OQ•OM=$\frac{1}{2}$（2t+2）（10-t），
=-（t-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{121}{4}$．
∴當(dāng)t=$\frac{9}{2}$時，S有最大值為$\frac{121}{4}$，此時P（$\frac{11}{2}$，$\frac{9\sqrt{3}}{2}$）．

（3）根據(jù)題意可知，當(dāng)點P的縱坐標(biāo)等于點Q縱坐標(biāo)的$\frac{1}{2}$時，PO=PQ，
當(dāng)P在AB上時，P（10-t，$\sqrt{3}$t，Q（0，2+2t），得$\sqrt{3}$t=$\frac{2+2t}{2}$，
解得：t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
當(dāng)P在BC上時，P（$\sqrt{3}$t-5$\sqrt{3}$+5，$\frac{2t-10}{2}$+5$\sqrt{3}$），Q（0，2+2t），得$\frac{2t-10}{2}$+5$\sqrt{3}$=$\frac{2+2t}{2}$，
此方程無解，故t不存在，
綜上所知，當(dāng)t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$時，PO=PQ．

點評 此題主要考查二次函數(shù)綜合題，涉及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積，特殊角的三角函數(shù)，以及分類討論思想的滲透，綜合性較強，有一定的難度．