Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；

（2）若M為對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)，且DM=2AM．

①求二次函數(shù)解析式；

②當(dāng)t﹣2≤x≤t時(shí)，二次函數(shù)有最大值5，求t值；

③若直線x=4與此拋物線交于點(diǎn)E，將拋物線在C，E之間的部分記為圖象記為圖象P（含C，E兩點(diǎn)），將圖象P沿直線x=4翻折，得到圖象Q，又過點(diǎn)（10，﹣4）的直線y=kx+b與圖象P，圖象Q都相交，且只有兩個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0）、B（3，0）；（2）①y=x2﹣2x﹣3；②t值為0或4；③﹣1≤b＜11或b=﹣4．

【解析】

（1）令y＝0，即：ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得：x＝﹣1或3，即可求解；

（2）①DM＝2AM＝4，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4），將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

②分x＝t和x＝t﹣2在對(duì)稱軸右側(cè)、左側(cè)或兩側(cè)三種情況，討論求解即可；

③如下圖所示，直線m、l、n都是直線y＝kx+b與圖象P、Q都相交，且只有兩個(gè)交點(diǎn)的臨界點(diǎn)，即可求解．

解：（1）令y=0，即：ax2﹣2ax﹣3a=0，解得：x=﹣1或3，

即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（3，0），函數(shù)的對(duì)稱軸

（2）①DM=2AM=4，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4），

將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：

﹣4=a﹣2a﹣3a，解得：a=1，即函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣2x﹣3；

②當(dāng)x=t和x=t﹣2在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，函數(shù)在x=t處，取得最大值，

即：t2﹣2t﹣3=5，解得：t=﹣2或4（舍去t=﹣2），即t=4；

同理當(dāng)x=t和x=t﹣2在對(duì)稱軸左側(cè)或兩側(cè)時(shí)，解得：t=0，

故：t值為0或4；

③如下圖所示，直線m、l、n都是直線y=kx+b與圖象P、Q都相交，且只有兩個(gè)交點(diǎn)的臨界點(diǎn)，

點(diǎn)E、R、C'坐標(biāo)分別為（4，5）、（10，﹣4）、（8，﹣3），直線l的表達(dá)式：把點(diǎn)E、R的坐標(biāo)代入直線y=kx+b得：

解得：

同理可得直線m的表達(dá)式為：

直線n的表達(dá)式為：y=﹣4，故：b的取值范圍為：﹣1≤b＜11或b=﹣4．