【題目】如圖1,點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn). 分別延長(zhǎng)OD到點(diǎn)G,OC到點(diǎn)E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG,連接AG,DE.
(1)求證:DE⊥AG;
(2)正方形ABCD固定,將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(0°< <360°)得到正方形,如圖2.
①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)∠是直角時(shí),求的度數(shù);(注明:當(dāng)直角邊為斜邊一半時(shí),這條直角邊所對(duì)的銳角為30度)
②若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,求長(zhǎng)的最大值和此時(shí)的度數(shù),直接寫(xiě)出結(jié)果不必說(shuō)明理由.
圖1 圖2
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)①(1)30°或150°②AF′長(zhǎng)的最大值是,此時(shí)α=315°.
【解析】(1)如圖1,延長(zhǎng)ED交AG于點(diǎn)H.
∵O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn).∴OA=OD,OA⊥OD.
∵OG=OE,∴Rt△AOG≌Rt△DOE,∴∠AGO=∠DEO.
∵∠AGO+∠GAO=90°,∴∠DEO+∠GAO=90°,∴∠AHE=90°,即DE⊥AG.
(2)①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,∠成為直角有以下兩種情況:
(i)α由0°增大到90°過(guò)程中,當(dāng)∠為直角時(shí),
∵,∴在Rt△中, ,
∴∠∵OA⊥OD,∴∠DOG′=90°-∠=30°,即α=30°.
(ii)α由90°增大到180°過(guò)程中,當(dāng)∠為直角時(shí),
同理可求的∠AOG′=30°,所以α=90°+∠=150°.
綜上,當(dāng)∠為直角時(shí),α=30°或150°.
②AF′長(zhǎng)的最大值是,此時(shí)α=315°.理由:當(dāng)AF′長(zhǎng)的最大時(shí),點(diǎn)F′在直線AC上,如圖所示:
∵AB=BC=CD=AD=1,∴AC=BD=,AO=OD=.
∴OE′=E′F′=2OD=.∴OF′=.∴AF′=AO+OF′=.
∵∠E′OF=45°∴旋轉(zhuǎn)角α=360°-45°=315°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,請(qǐng)?jiān)谙铝兴膫(gè)關(guān)系中,選出兩個(gè)恰當(dāng)?shù)年P(guān)系作為條件,推出四邊形ABCD是平行四邊形,并予以證明.(寫(xiě)出一種即可)
關(guān)系:①AD∥BC,②AB=CD,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°.
已知:在四邊形ABCD中, , ;
求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“五一”期間,某商鋪經(jīng)營(yíng)某種旅游紀(jì)念品.該商鋪第一次批發(fā)購(gòu)進(jìn)該紀(jì)念品共花費(fèi)3 000元,很快全部售完.接著,該商鋪第二次批發(fā)購(gòu)進(jìn)該紀(jì)念品共花費(fèi)9000元.已知第二次所購(gòu)進(jìn)該紀(jì)念品的數(shù)量是第一次的2倍還多300個(gè),第二次的進(jìn)價(jià)比第一次的進(jìn)價(jià)提高了20%.
(1)求第一次購(gòu)進(jìn)該紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)是多少元?
(2)若該紀(jì)念品的兩次售價(jià)均為9元/個(gè),兩次所購(gòu)紀(jì)念品全部售完后,求該商鋪兩次共盈利多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】企業(yè)舉行“愛(ài)心一日捐”活動(dòng),捐款金額分為五個(gè)檔次,分別是50元,100元,150元,200元,300元.宣傳小組隨機(jī)抽取部分捐款職工并統(tǒng)計(jì)了他們的捐款金額,繪制成兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)結(jié)合圖表中的信息解答下列問(wèn)題:
(1)宣傳小組抽取的捐款人數(shù)為_____人,請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,求100元所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù);
(3)已知該企業(yè)共有500人參與本次捐款,請(qǐng)你估計(jì)捐款總額大約為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線y=﹣ x+m(m>0)與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)D,以CD為邊作矩形ANCD,點(diǎn)A在x軸上.雙曲線y= 經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,與直線CD交于點(diǎn)E,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為( )
A.( ,﹣ )
B.(4,﹣ )
C.( ,﹣ )
D.(6,﹣1)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】網(wǎng)癮低齡化問(wèn)題已經(jīng)引起社會(huì)各界的高度關(guān)注,有關(guān)部門在全國(guó)范圍內(nèi)對(duì)12﹣35歲的網(wǎng)癮人群進(jìn)行了簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣調(diào)查,繪制出以下兩幅統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)根據(jù)圖中的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)這次抽樣調(diào)查中共調(diào)查了人;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中18﹣23歲部分的圓心角的度數(shù)是;
(4)據(jù)報(bào)道,目前我國(guó)12﹣35歲網(wǎng)癮人數(shù)約為2000萬(wàn),請(qǐng)估計(jì)其中12﹣23歲的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,把矩形紙片ABCD沿對(duì)角線折疊,設(shè)重疊部分為△EBD,那么下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A. △EBD是等腰三角形,EB=ED B. 折疊后∠ABE和∠C′BD一定相等
C. 折疊后得到的圖形是軸對(duì)稱圖形 D. △EBA和△EDC′一定是全等三角形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,BC=12.
(1)用尺規(guī)作圖的方法作AB的垂直平分線MN,分別交BC、AB于點(diǎn)M、N(保留作圖痕跡,不要求寫(xiě)作法);
(2)求第(1)題中的CM的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)零件的形狀如圖所示,按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角,工人師傅量出了這個(gè)零件各邊尺寸,那么這個(gè)零件符合要求嗎?求出四邊形ABCD的面積.
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