Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，△BPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△BPC的最大面積；
（3）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP₁C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP₁C為菱形？若存在，直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接把B（3，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c可得到關(guān)于b、c的方程組，解方程組求得b=-2，c=-3，則二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x²-2x-3；
（2）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得P′E的長，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）作OC的垂直平分線交直線BC下方的拋物線于點(diǎn)P，則PO=PC，根據(jù)翻折的性質(zhì)得OP′=OP，CP′=CP，易得四邊形POP′C為菱形，又E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\frac{3}{2}$），則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-$\frac{3}{2}$，再把y=-$\frac{3}{2}$代入y=x²-2x-3可求出對應(yīng)x的值，然后確定滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）把B（3，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x²-2x-3；
（2）如圖1，
作PF⊥x軸于F點(diǎn)，交BC于E點(diǎn)，
BC的解析式為y=x-3，設(shè)E（m，m-3），P′（m，m²-2m-3）．
P′E=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
S_△BCP′=S_△BEP′+S_CEP′=$\frac{1}{2}$P′E×FB+$\frac{1}{2}$EP′•OF
=$\frac{1}{2}$EP′•OB
=$\frac{1}{2}$×3[-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$]
當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，S_最大=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{9}{4}$=$\frac{27}{8}$，
m²-2m-3=-$\frac{15}{4}$，
此時(shí)P′（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；
（3）存在．理由如下：
作OC的垂直平分線交直線BC下方的拋物線于點(diǎn)P，垂足為點(diǎn)E，如圖2，
則PO=PC，
∵△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，
∴OP′=OP，CP′=CP，
∴OP′=OP=CP′=CP，
∴四邊形POP′C為菱形，
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\frac{3}{2}$），
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-$\frac{3}{2}$，
把y=-$\frac{3}{2}$代入y=x²-2x-3得x²-2x-3=-$\frac{3}{2}$，
解得x=$\frac{2±\sqrt{10}}{2}$，
∵點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，
∴x=$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，
∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ $\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象為拋物線，其頂點(diǎn)式為y=a（x-$\frac{2a}$）²+$\frac{4ac-^{2}}{4a}$，拋物線的對稱軸為x=-$\frac{2a}$，當(dāng)a＞0，y_最小值=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$；當(dāng)a＜0，y_{最，大值}=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$；利用面積的和差得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)；對于特殊四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理要熟練運(yùn)用．