Question

如圖，拋物線y=ax²-8ax+12a（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），拋物線上另有一點(diǎn)C在第一象限，滿足∠ACB為直角，且恰使△OCA∽△OBC．
（1）求線段OC的長(zhǎng)；
（2）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△BCP為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由ax²-8ax+12a=0（a＜0）
得x₁=2，x₂=6．
即：OA=2，OB=6．
∵△OCA∽△OBC，
∴OC²=OA•OB=2×6．
∴OC=2（-2舍去）．
∴線段OC的長(zhǎng)為2．

（2）∵△OCA∽△OBC
∴
設(shè)AC=k，則BC=k
由AC²+BC²=AB²得
k²+（k）²=（6-2）²
解得k=2（-2舍去）
∴AC=2，BC=2=OC
過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D
∴OD=OB=3
∴CD=
∴C的坐標(biāo)為（3，）
將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得=a（3-2）（3-6）
∴a=-
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：
y=-x²+x-4．

（3）①當(dāng)P₁與O重合時(shí)，△BCP₁為等腰三角形
∴P₁的坐標(biāo)為（0，0）；
②當(dāng)P₂B=BC時(shí)（P₂在B點(diǎn)的左側(cè)），△BCP₂為等腰三角形
∴P₂的坐標(biāo)為（6-2，0）；
③當(dāng)P₃為AB的中點(diǎn)時(shí)，P₃B=P₃C，△BCP₃為等腰三角形
∴P₃的坐標(biāo)為（4，0）；
④當(dāng)BP₄=BC時(shí)（P₄在B點(diǎn)的右側(cè)），△BCP₄為等腰三角形
∴P₄的坐標(biāo)為（6+2，0）；
∴在x軸上存在點(diǎn)P，使△BCP為等腰三角形，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：
（0，0），（6-2，0），（4，0），（6+2，0）．
分析：（1）令拋物線中y=0，可得出A、B的坐標(biāo)，即可確定OA，OB的長(zhǎng)．根據(jù)△OCA∽△OBC，可得出關(guān)于OC、OA、OB的比例關(guān)系式即可求出OC的長(zhǎng)．
（2）C是BP中點(diǎn)，因此C的橫坐標(biāo)是B點(diǎn)橫坐標(biāo)的一半，在（1）中已經(jīng)求得了OC的長(zhǎng)，因此不難得出C點(diǎn)的坐標(biāo)．將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．
（3）應(yīng)該有四個(gè)符合條件的點(diǎn)：
①以C為圓心，BC為半徑作弧，交x軸于一點(diǎn)，這點(diǎn)符合P點(diǎn)要求，此時(shí)CP=BC，已知了B、C的坐標(biāo)，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
②以B為圓心，BC為半徑作弧，交x軸于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)也符合P點(diǎn)要求，此時(shí)BC=BP，根據(jù)B、C的坐標(biāo)，不難得出BC的長(zhǎng)，將B點(diǎn)坐標(biāo)向左或向右平移BC個(gè)單位即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．
③作BC的垂直平分線，與x軸的交點(diǎn)也符合P點(diǎn)要求，此時(shí)CP=BP，可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，用坐標(biāo)系兩點(diǎn)間距離公式表示出BP和CP的長(zhǎng)，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
因此共有4個(gè)符合條件的P點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：命題立意：考查數(shù)形結(jié)合問(wèn)題，由拋物線求二次函數(shù)的解析式，用幾何中相似三角形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)．