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【題目】如圖,拋物線經過點A(1,0)和點B(5,0),與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)以點A為圓心,作與直線BC相切的A,請判斷A與y軸有怎樣的位置關系,并說明理由;

(3)在直線BC上方的拋物線上任取一點P,連接PB、PC,請問:PBC的面積是否存在最大值?若存在,求出這個值和此時點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2)相交;(3)S△PBC有最大值,此時P點坐標為(,).

【解析】

試題分析:(1)把A、B兩點分別代入拋物線解析可求得a和b,可求得拋物線解析式;

(2)過A作ADBC于點D,則AD為A的半徑,由條件可證明ABD∽△CBO,利用相似三角形的性質可求得AD的長,可求得半徑,進而得出答案;

(3)由待定系數法可求得直線BC解析式,過P作PQy軸,交直線BC于點Q,交x軸于點E,可設出P、Q的坐標,可表示出PQC和PQB的面積,可表示出PBC的面積,再利用二次函數的性質可求得其最大值,容易求得P點坐標.

試題解析:(1)拋物線經過點A(1,0)和點B(5,0),把A、B兩點坐標代入可得,解得:,拋物線解析式為

(2)相交,理由:過A作ADBC于點D,如圖1,∵⊙A與BC相切,AD為A的半徑,由(1)可知C(0,﹣),且A(1,0),B(5,0),OB=5,AB=OB﹣OA=4,OC=,在RtOBC中,由勾股定理可得BC===,∵∠ADB=BOC=90°,ABD=CBO,∴△ABD∽△CBO,,即,解得AD=,即A的半徑為,1,∴⊙A與y軸相交;

(3)C(0,﹣),可設直線BC解析式為y=kx﹣,把B點坐標代入可求得k=,直線BC的解析式為,過P作PQy軸,交直線BC于點Q,交x軸于點E,如圖2,設P(x,),則Q(x,),PQ=()﹣()= =,S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQOE+PQBE=PQ(OE+BE)=PQOB=PQ=當x=時,S△PBC有最大值,此時P點坐標為(),當P點坐標為(,)時,PBC的面積有最大值.

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a

6

﹣6

﹣6

2

﹣1.5

b

4

0

﹣4

﹣10

﹣1.5

A、B兩點的距離

2

0

(2)若A、B兩點間的距離記為d,試問d和a、b(a<b)有何數量關系;

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