Question

3．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+4x-k=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）請你在-5，-4，-3，1，2，3中選擇一個數(shù)作為k的值，使方程有兩個整數(shù)根，并求出方程的兩個整數(shù)根．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程有兩個不等實根結(jié)合根的判別式，可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范圍；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，找出k的值，并驗證k為這些數(shù)時，何時方程的兩根為整數(shù)，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵方程x²+4x-k=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=4²-4×1×（-k）=16+4k＞0，
解得：k＞-4，
∴k的取值范圍為k＞-4；
（2）當(dāng)k=-3時，△=16+4k=4，
原方程為x²+4x+3=（x+1）（x+3）=0，
解得：x=-1或x=-3；
當(dāng)k=1時，△=16+4k=20，
$\sqrt{20}$不是整數(shù)；
當(dāng)k=2時，△=16+4k=24，
$\sqrt{24}$不是整數(shù)；
當(dāng)k=3時，△=16+4k=28，
$\sqrt{28}$不是整數(shù)．
∴當(dāng)取k=-3時，方程的兩個整數(shù)根為-1或-3．

點評 本題考查了根的判別式以及解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是：（1）找出△=16+4k＞0；（2）驗證k為何值時，方程有兩個整數(shù)根．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)方程根的個數(shù)結(jié)合根的判別式得出不等式是關(guān)鍵．