Question

如圖，已知二次函數(shù)y= -x²+bx+3的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(4,0)，與y軸交于點(diǎn)B.
【小題1】求此二次函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
【小題2】在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB是以AB為底的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【小題1】∵二次函數(shù)y= -x²+bx+3的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(4,0)，
∴0= -4²+4b+3，
解得b=，
∴此二次函數(shù)關(guān)系式為：y= -x²+x+3，
點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(0,3).
【小題1】在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P(,0)，使得△PAB是以AB為底的等腰三角形.理由如下：
設(shè)點(diǎn)P(x，0)，x＞0，則根據(jù)下圖和已知條件可得

x²+ 3²="(4-" x)²，
解得x=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(,0).
即，在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P(,0)，使得△PAB是以AB為底的等腰三角形.

解析【小題1】把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)，求出b的值，確定二次函數(shù)關(guān)系式，把x=0代入二次函數(shù)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
【小題1】分情況討論，①當(dāng)BP=AP時(shí)，②當(dāng)AB=AP時(shí)，分別求出即可得出答案．