Question

【題目】如圖，AB為直徑，AB=4，C、D為圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N為CD中點(diǎn)，CM⊥AB于M，當(dāng)C、D在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)保持∠CMN=30°，則CD的長(zhǎng)（　 ）

A. 隨C、D的運(yùn)動(dòng)位置而變化，且最大值為4 B. 隨C、D的運(yùn)動(dòng)位置而變化，且最小值為2

C. 隨C、D的運(yùn)動(dòng)位置長(zhǎng)度保持不變，等于2 D. 隨C、D的運(yùn)動(dòng)位置而變化，沒有最值

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：連接OC、ON、OD，由垂徑定理可知ON⊥CD，∠CON=∠DON，然后由∠ONC+∠CMO=180°，可證明O、N、C、M四點(diǎn)共圓，從而可得到∠NOC=∠NMC=30°，于是可證明△OCD為等邊三角形，從而得到CD=2．

詳解：連接：OC、ON、OD.

∵N是CD的中點(diǎn)，

∴ON⊥CD，∠CON=∠DON.

又∵CM⊥AB，

∴∠ONC+∠CMO=180°，

∴O、N、C. M四點(diǎn)共圓，

∴∠NOC=∠NMC=30°，

∴∠COD=60°，

又∵OC=OD，

∴△OCD為等邊三角形.

∴CD=AB=×4=2.

故選：C.