Question

【題目】如圖，長方形的邊在軸上，邊在軸上．把沿折疊得到，與交于點(diǎn)．

（1）如圖1，求證：．

（2）如圖1，若，．寫出所在直線的解析式．

（3）如圖2，在（2）的條件下，是中點(diǎn)，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，是否有最小值，若有請求出最小值，若沒有請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）有最小值，最小值是

【解析】

(1)先依據(jù)翻折的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)證明∠COB=∠COE，∠FCO=∠COB，利用等角對等邊即可得到結(jié)論；
(2)在Rt△ODF中，依據(jù)勾股定理可求得DF的長，從而可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；

(3)由翻折的性質(zhì)可知點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于直線OC對稱，連接EN交OC于點(diǎn)P，此時(shí)PB+PN有最小值，最小值是線段EN，利用勾股定理即可求解．

(1)∵四邊形OBCD為矩形，
∴CD∥BO，

∴∠FCO=∠COB，
由翻折的性質(zhì)可知∠COB=∠COE，
∴∠FCO =∠COE，

∴OF=CF；

(2)∵OF=CF，，．
設(shè)，則，
在Rt△ODF中，OD=4，根據(jù)勾股定理得，，
∴，
解得：，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3，4)，
設(shè)直線OE的解析式為，
把F(3，4)代入得：，

∴，

∴OE所在直線的解析式為：；

(3)有最小值，理由如下：

由翻折的性質(zhì)可知點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于直線OC對稱，連接EN交OC于點(diǎn)P，此時(shí)PB+PN有最小值，最小值是線段EN，

由翻折的性質(zhì)可知OE=OB=8，

∵點(diǎn)E在直線上，

∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，

在Rt△OEG中，OE=8，OG=，EG=，

∴，即，

解得：，

∴OG=，EG=，

∵是中點(diǎn)，
∴ON=，

∴NG= OG- ON=，

在Rt△NEG中，，，

∴．