【題目】如圖, 的中線, 是線段 上一點(diǎn)(不與點(diǎn) 重合). 于點(diǎn) , ,連結(jié)

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn) 重合時(shí),求證:四邊形 是平行四邊形;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn) 不與 重合時(shí),(1)中的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說明理由.
(3)如圖3,延長(zhǎng) 于點(diǎn) ,若 ,且
①求 的度數(shù);
②當(dāng) 時(shí),求 的長(zhǎng).

【答案】
(1)

證明:∵DE//AB,∴∠EDC=∠ABM,

∵CE//AM,

∴∠ECD=∠ADB,

又∵AM是△ABC的中線,且D與M重合,∴BD=DC,

∴△ABD△EDC,

∴AB=ED,又∵AB//ED,

∴四邊形ABDE為平行四邊形。


(2)

解:結(jié)論成立,理由如下:

過點(diǎn)M作MG//DE交EC于點(diǎn)G,

∵CE//AM,

∴四邊形DMGE為平行四邊形,

∴ED=GM且ED//GM,

由(1)可得AB=GM且AB//GM,

∴AB=ED且AB//ED.

∴四邊形ABDE為平行四邊形.


(3)

解:①取線段HC的中點(diǎn)I,連結(jié)MI,

∴MI是△BHC的中位線,

∴MI//BH,MI=BH,

又∵BH⊥AC,且BH=AM,

∴MI=AM,MI⊥AC,

∴∠CAM=30°

②設(shè)DH=x,則AH=x,AD=2x,

∴AM=4+2x,∴BH=4+2x,

由(2)已證四邊形ABDE為平行四邊形,

∴FD//AB,

∴△HDF~△HBA,

,即

解得x=1±(負(fù)根不合題意,舍去)

∴DH=1+.


【解析】(1)由DE//AB,可得同位角相等:∠EDC=∠ABM,由CE//AM,可得同位角相等∠ECD=∠ADB,又由BD=DC,則△ABD△EDC,得到AB=ED,根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等,可得四邊形ABDE為平行四邊形.
(2)過點(diǎn)M作MG//DE交EC于點(diǎn)G,則可得四邊形DMGE為平行四邊形,且ED=GM且ED//GM,由(1)可得AB=GM且AB//GM,即可證得;
(3)①在已知條件中沒有已知角的度數(shù)時(shí),則在求角度時(shí)往特殊角30°,60°,45°的方向考慮,則要求這樣的特殊角,就去找邊的關(guān)系,構(gòu)造直角三角形,取線段HC的中點(diǎn)I,連結(jié)MI,則MI是△BHC的中位線,可得MI//BH,MI=BH,且MI⊥AC,則去找Rt△AMI中邊的關(guān)系,求出∠CAM;
②根據(jù)①所得的∠CAM,則可設(shè)DH=x,即可用x分別表示出AH=x,AD=2x,AM=4+2x,BH=4+2x,由△HDF~△HBA,得到對(duì)應(yīng)邊成比例,求出x的值即可;
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解三角形中位線定理(連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線;三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半),還要掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)(若一直線過平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn),則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn),并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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投資量x(萬元)

2

種植樹木利潤(rùn)y1(萬元)

4

種植花卉利潤(rùn)y2(萬元)

2

(1)分別求出利潤(rùn)y1與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木,設(shè)他投入種植花卉金額m萬元,種植花卉和樹木共獲利利潤(rùn)W萬元,直接寫出W關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求他至少獲得多少利潤(rùn)?他能獲取的最大利潤(rùn)是多少?

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