Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于點E，EA平分∠BED．

（1）CD的長是_____；

（2）當點F是AC中點時，四邊形ABCD的周長是_____．

Answer 1

【答案】2 5+

【解析】

（1）延長DA，CB交于點H，由“ASA”可證≌，可得，由平行得相似，依據(jù)相似的性質即可求解；

（2）先證明A，D，C，E四點共圓，因為F是AC中點，依據(jù)垂徑定理，得到DF是AC的中垂線，依據(jù)線段的垂直平分線的性質可求得AD的長度，作于H，可證四邊形ABCH是矩形，依據(jù)矩形的性質，結合線段長度，可得是的中垂線，由此可得AC的長度，在三角形ABC中，依據(jù)勾股定理可求得BC的長度，只需把各邊相加即可得到四邊形ABCD的周長.

解：（1）如圖1中，延長DA，CB交于點H，

∵EA平分∠BED，

∴∠AEH＝∠AED，且AE＝AE，∠EAH＝∠EAD＝90°，

∴△ADE≌△AHE（ASA）

∴AH＝AD，

∵∠ABC＝∠BCD＝90°，

∴AB∥CD，

∴△ABH∽△DCH,

∴，且AB＝1，AH＝AD＝HD，

∴CD＝2，

（2）如圖2中，作AH⊥CD于H，

∵∠DAE＝∠DCE＝90°，

∴A，D，C，E四點共圓，設圓心為O，則點O是線段DE的中點，

又∵AF＝CF，

∴DE⊥AC，

∴DA＝DC，

∵∠ABC＝∠BCH＝∠AHC＝90°，

∴四邊形ABCH是矩形，

∴CH＝AB＝1，

∵CD＝2，

∴CH＝HD＝1，

又∵AH⊥CD，

∴AD＝AC，

∴AD＝CD＝AC＝2，

∴，

四邊形ABCD的周長為．

故答案為：（1）2；（2）．