Question

如圖，在等邊△ABC的邊AB上任意取一點(diǎn)D，作等邊△CDE．
（1）求證：AE∥BC．
（2）若已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)是2，點(diǎn)D恰好是AB邊的中點(diǎn)，求四邊形求ABCE的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠DCE=60°，再求出∠BCD=∠ACE，然后利用“邊角邊”證明△BCD和△ACE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CAE=∠CBD=60°，從而得到∠CAE=∠ACB，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行證明即可；
（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出BD=AD=1，再利用勾股定理列式求出CD，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=BD，CE=CD，再根據(jù)四邊形周長(zhǎng)的定義解答．

解答：（1）證明：在等邊三角形△ABC和等邊三角形△CDE中，
BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，

AC=BC ∠BCD=∠ACE DC=EC

，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CAE=∠CBD=60°，
∴∠CAE=∠ACB，
∴AE∥BC；

（2）解：在等邊三角形△ABC中，∵BD=AD，
∴∠BDC=90°且BD=1，
在△BCD中，由勾股定理得，CD=

22-12

=

3

，
∵△BCD≌△ACE，
∴AE=BD=1，CE=CD=

3

，
∴四邊形ABCE的周長(zhǎng)=2+2+1+

3

=5+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，確定出∠BCD=∠ACE是本題的難點(diǎn)．