【題目】如圖(1),在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0),與y軸交于C(0,3),頂點為D(1,4),對稱軸為DE.
(1)拋物線的解析式是;
(2)如圖(2),點P是AD上一個動點,P′是P關(guān)于DE的對稱點,連接PE,過P′作P′F∥PE交x軸于F.設(shè)S四邊形EPP′F=y,EF=x,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求y的最大值;
(3)在(1)中的拋物線上是否存在點Q,使△BCQ成為以BC為直角邊的直角三角形?若存在,求出Q的坐標;若不存在.請說明理由.
【答案】
(1)y=﹣x2+2x+3
(2)
解:令PP′交DE于G,
∵PP′∥AF,PE∥FP′,
∴四邊形FEP′P是平行四邊形,
∴PP′=EF,
∴△DPP′∽△DAB,
∴ ,
又∵A(﹣1,0)、B(3,0)、D(1,4),EF=x,
∴AB=4,DE=4,PP′=x,
∴
∴GE=4﹣x,
又∵S四邊形EPP'F=EFGE,
∴y=x(4﹣x)
∴y=x(4﹣x)=﹣(x﹣2)2+4,x=2時,y的最大值是4
(3)
解:假設(shè)存在滿足條件的點Q(x,y),
作OH⊥BC于H,
∵Rt△BCQ中BC是直角邊,
∴Rt△BCQ的另一直角邊與OH平行.
又∵OC=OB,CO⊥OB,OB=3,OC=3,
∴Rt△BCQ的另一直角邊所在的直線可以由直線OH向上或向右平移3個單位得到(如圖).
由已知得直線OH的解析式是y=x,
∴Rt△BCQ的另一直角邊所在的直線解析式是:y=x+3或 y=x﹣3
點Q為直線y=x+3和拋物線交點,
則 ,
解得:x=1,
∴y=4;
②點Q為直線y=x﹣3和拋物線交點,
則 ,
解得:x=﹣2,
∴y=﹣5,
∴存在滿足條件的點Q的坐標是:(1,4)和(﹣2,﹣5)
【解析】解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點C,
則c=3,
∵拋物線經(jīng)過A,B兩點,∴
解得:a=﹣1,b=2,
所以答案是 y=﹣x2+2x+3;
【考點精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在一個18米高的樓頂上有一信號塔DC,李明同學(xué)為了測量信號塔的高度,在地面的A處測的信號塔下端D的仰角為30°,然后他正對塔的方向前進了18米到達地面的B處,又測得信號塔頂端C的仰角為60°,CD⊥AB與點E,E、B、A在一條直線上.請你幫李明同學(xué)計算出信號塔CD的高度(結(jié)果保留整數(shù),≈1.7,≈1.4 ).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB,BC,CD分別與⊙O相切于E,F(xiàn),G.且AB∥CD.BO=6cm,CO=8cm.
(1)求證:BO⊥CO;
(2)求BE和CG的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在對全市初中生的體質(zhì)健康測試中,青少年體質(zhì)研究中心隨機抽取的10名女生的立定跳遠的成績(單位:厘米)如下:123,191,216,191,159,206,191,210,186,227.
(1)通過計算,樣本數(shù)據(jù)(10名女生的成績)的平均數(shù)是190厘米,中位數(shù)是多少厘米?眾數(shù)是多少厘米?
(2)本市一初中女生的成績是194厘米,你認為她的成績?nèi)绾?說明理由;
(3)研究中心分別確定了一個標準成績,等于或大于這個成績的女學(xué)生該項素質(zhì)分別被評定為“合格”、“優(yōu)秀”等級,其中合格的標準為大多數(shù)女生能達到,“優(yōu)秀”的標準為全市有一半左右的學(xué)生能夠達到,你認為標準成績分別定為多少?說明理由;按擬定的合格標準,估計該市4650人中有多少人在合格以上?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某青年旅社有60間客房供游客居住,在旅游旺季,當客房的定價為每天200元時,所有客房都可以住滿.客房定價每提高10元,就會有1個客房空閑,對有游客入住的客房,旅社還需要對每個房間支出20元/每天的維護費用,設(shè)每間客房的定價提高了x元.
(1)填表(不需化簡)
入住的房間數(shù)量 | 房間價格 | 總維護費用 | |
提價前 | 60 | 200 | 60×20 |
提價后 |
|
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|
(2)若該青年旅社希望每天純收入為14000元且能吸引更多的游客,則每間客房的定價應(yīng)為多少元?(純收入=總收入﹣維護費用)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,BA=BC,BE平分∠ABC,CD⊥BD,且CD=BD.
(1)求證:BF=AC;
(2)若AD=,求CF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】⊙O的半徑為5,AB是⊙O的直徑,點C在⊙O上,點D在直線AB上.
(1)如圖(1),已知∠BCD=∠BAC,求證:CD是⊙O的切線;
(2)如圖(2),CD與⊙O交于另一點E.BD:DE:EC=2:3:5,求圓心O到直線CD的距離;
(3)若圖(2)中的點D是直線AB上的動點,點D在運動過程中,會出現(xiàn)C,D,E在三點中,其中一點是另外兩點連線的中點的情形,問這樣的情況出現(xiàn)幾次?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小王家距上班地點18千米,他用乘公交車的方式平均每小時行駛的路程比他用自駕車的方式平均每小時行駛的路程的2倍還多9千米.他從家出發(fā)到達上班地點,乘公交車方式所用時間是自駕車方式所用時間的.小王用自駕車方式上班平均每小時行駛( 。
A. 26千米 B. 27千米 C. 28千米 D. 30千米
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,點E是對角線AC上一點,且CE=CD,過點E作EF⊥AC交AD于點F,連接BE.
(1)求證:DF=AE;
(2)當AB=2時,求BE2的值.
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