Question

如圖，點(diǎn)O是平行四邊形ABCD對角線AC、BD的交點(diǎn)，將直線DB繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交DC、AB于點(diǎn)E、F，若DB=2，AD=1，AB=

5

．
（1）求證：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°，四邊形AFED是平行四邊形；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為45°時(shí)，判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用勾股定理的逆定理得出∠ADB=90°，旋轉(zhuǎn)角的定義可得∠DOE=90°，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得AD∥EF，根據(jù)平行四邊形的對邊平行可得AF∥DE，然后根據(jù)平行四邊形的定義即可得證；
（2）先證明四邊形AECF的對角線互相垂直，再證明對角線互相平分，然后根據(jù)菱形的判定得到四邊形AECF是菱形．

解答：（1）證明：∵DB=2，AD=1，AB=

5

，
∴DB²+AD²=AB²，
∴∠ADB=90°．
將直線DB繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，∠DOE=90°，
∴AD∥EF，
又∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AF∥DE，
∴四邊形AFED是平行四邊形；

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OD=OB=

1

2

DB=1，OA=OC，
∴AD=OD=1，
由（1）知△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴△OAD是等腰直角三角形，
∴∠AOD=45°．
當(dāng)直線DB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，即∠DOE=45°，
∴∠AOE=90°，即EF⊥AC．
在△DEO與△BFO中，

∠ODE=∠OBF OD=OB ∠DOE=∠BOF

，
∴△DEO≌△BFO，
∴OE=OF，
又∵OA=OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴平行四邊形AECF是菱形．

點(diǎn)評：此題考查了勾股定理的逆定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的判定，平行四邊形、全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．