Question

【題目】（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b．當(dāng)點(diǎn)A位于什么上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為多少（用含a，b的式子表示）

（2）應(yīng)用：點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=4，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．

①請(qǐng)找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；

②直接寫出線段BE長(zhǎng)的最大值．

（3）拓展：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，請(qǐng)直接寫出線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大值為BC+AB=a+b，（2）①CD=BE，理由見解析；②最大值為BD+BC=AB+BC=5；（3）最大值為2+4，P（2﹣，）．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，即可得到結(jié)論；

（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE；②由于線段BE長(zhǎng)的最大值=線段CD的最大值，根據(jù)（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)果；

（3）連接BM，將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA=2，BN=AM，根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最大值，即可得到最大值為2+4；過P作PE⊥x軸于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

（1）∵點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b，

∴當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b，

（2）①CD=BE，

理由：∵△ABD與△ACE是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，

即∠CAD=∠EAB，

在△CAD與△EAB中，

，

∴△CAD≌△EAB，

∴CD=BE；

②∵線段BE長(zhǎng)的最大值=線段CD的最大值，

由（1）知，當(dāng)線段CD的長(zhǎng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，

∴最大值為BD+BC=AB+BC=5；

（3）∵將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，

則△APN是等腰直角三角形，

∴PN=PA=2，BN=AM，

∵A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），

∴OA=2，OB=5，

∴AB=4，

∴線段AM長(zhǎng)的最大值=線段BN長(zhǎng)的最大值，

∴當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最大值，

最大值=AB+AN，

∵AN=AP=2，

∴最大值為2+4；

如圖2，過P作PE⊥x軸于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE=AE=，

∴OE=BO﹣AB﹣AE=5﹣3﹣=2﹣，

∴P（2﹣，）．