【題目】【問題情境】

課外興趣小組活動時,老師提出了如下問題:

如圖①,ABC中,若AB=12,AC=8,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法:延長AD至點E,使DEAD,連接BE.請根據(jù)小明的方法思考:

(1)由已知和作圖能得到ADC≌△EDB,依據(jù)是

A.SSS B.SAS C.AAS D.HL

(2)由三角形的三邊關(guān)系可求得AD的取值范圍是

解后反思:題目中出現(xiàn)中點”、“中線等條件,可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形,把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形之中.

【初步運用】

如圖②,ADABC的中線,BEACE,交ADF,且AEEF.若EF=3,EC=2,求線段BF的長.

【靈活運用】

如圖③,在ABC中, A=90°,DBC中點, DEDF,DEAB于點E,DFAC于點F,連接EF.試猜想線段BE、CF、EF三者之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

【答案】【問題提出】(1)B;(2)2<AD<10;【初步運用】5;【靈活運用】猜想:BE2CF2EF2,證明見解析.

【解析】試題分析:【問題提出】(1)根據(jù)AD=DE,ADC=BDE,BD=DC推出ADCEDB全等即可;(2)根據(jù)全等得出BE=AC=8,AE=2AD,由三角形三邊關(guān)系定理得出12-8<2AD<12+8,求出即可;

【初步運用】延長ADM,使AD=DM,連接BM,根據(jù)SASADC≌△MDB,推出BM=AC,CAD=M,根據(jù)AE=EF,推出∠CAD=AFE=BFD,求出∠BFD=M,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可;

【靈活運用】延長FDG,使得DG=DF,連接BG、EG,根據(jù)SASFDC≌△GDB,由全等三角形的性質(zhì)得到CF=BG,FCD=GBD,由線段垂直平分線的性質(zhì)得EF=EG,由同角的余角相等證∠EBG=90°,在RtEBG中用勾股定理即可得證.

試題解析:

【問題提出】(1)∵在ADCEDB中,AD=DE,ADC=BDE,BD=CD,

ADCEDB(SAS),

故選B;

(2)∵由(1)知:ADCEDB,

BE=AC=8,AE=2AD,

∵在ABE中,AB=12,由三角形三邊關(guān)系定理得:128<2AD<12+8,

2<AD<10,

故答案為:2<AD<10;

【初步運用】

如圖,延長ADM,使DM=AD,連接BM

ADABC中線

BD=DC

又∵∠ADC=MDB

∴△ADC≌△MDB

BM=AC,CAD=M

AE=EF

∴∠CAD=AFE

∵∠AFE=BFD

∴∠BFD=CAD=M

BF=BM=AC=3+2=5;

【靈活運用】

猜想:BE2+CF2=EF2

理由:如圖,延長FDG,使得DG=DF,連接BG、EG,則FDC≌△GDB.

CF=BG,FCD=GBD,

DF=DG,DEDF,

EF=EG,

ABC中,∵∠A=90°,

∴∠EBC+FCB=90°,

∴∠EBC+GBD=90°,即∠EBG=90°,

∴在RtEBG中,BE2+BG2=EG2,

BE2+CF2=EF2

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】在線段AB的同側(cè)作射線AM和BN,若∠MAB與∠NBA的平分線分別交射線BN,AM于點E,F(xiàn),AE和BF交于點P.如圖,點點同學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)射線AM,BN交于點C;且∠ACB=60°時,有以下兩個結(jié)論:
①∠APB=120°;②AF+BE=AB.
那么,當(dāng)AM∥BN時:

(1)點點發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎?若成立,請給予證明;若不成立,請求出∠APB的度數(shù),寫出AF,BE,AB長度之間的等量關(guān)系,并給予證明;
(2)設(shè)點Q為線段AE上一點,QB=5,若AF+BE=16,四邊形ABEF的面積為32 ,求AQ的長.

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【題目】如圖所示,折疊長方形一邊AD,點D落在BC邊的點F處, 已知BC=10厘米,AB=8厘米,求FCEF的長.

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【題目】點P從點O出發(fā),按逆時針方向沿周長為l的圖形運動一周,O,P兩點間的距離y與點P走過的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖,那么點P所走的圖形是( )

A.
B.
C.
D.

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【題目】如圖,△ABC中,AD是高,CE是中線,點G是CE的中點,且DG⊥CE,垂足為點G.

(1)求證:DC=BE;

(2)若∠AEC=54°,求∠BCE的度數(shù).

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【題目】解下列方程:

(1)=3.

(2)(y+2)2=(3y﹣1)2

(3)(x﹣2)(x+5)=8.

(4)(2x+1)2=﹣6x﹣3.

(5)2x2﹣3x﹣2=0.

(6)4x2﹣12x﹣1=0(配方法).

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【題目】⊙O的半徑為5,AB是⊙O的直徑,點C在⊙O上,點D在直線AB上.
(1)如圖(1),已知∠BCD=∠BAC,求證:CD是⊙O的切線;
(2)如圖(2),CD與⊙O交于另一點E.BD:DE:EC=2:3:5,求圓心O到直線CD的距離;
(3)若圖(2)中的點D是直線AB上的動點,點D在運動過程中,會出現(xiàn)C,D,E在三點中,其中一點是另外兩點連線的中點的情形,問這樣的情況出現(xiàn)幾次?

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【題目】在下列的四個幾何體中,同一幾何體的主視圖與俯視圖相同的是(
A.
B.
C.
D.

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【題目】(1)發(fā)現(xiàn):如圖1,點A為線段BC外一動點,且BC=a,AB=b.當(dāng)點A位于什么上時,線段AC的長取得最大值,且最大值為多少(用含a,b的式子表示)

(2)應(yīng)用:點A為線段BC外一動點,且BC=4,AB=1,如圖2所示,分別以AB,AC為邊,作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接CD,BE.

①請找出圖中與BE相等的線段,并說明理由;

②直接寫出線段BE長的最大值.

(3)拓展:如圖3,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(2,0),點B的坐標為(6,0),點P為線段AB外一動點,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標.

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