Question

已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一個圓心角為45°，半徑長等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，直線CE、CF分別與直線AB交于點(diǎn)M、N．

(1)如圖①，當(dāng)AM＝BN時，將△ACM沿CM折疊，點(diǎn)A落在弧EF的中點(diǎn)P處，再將△BCN沿CN折疊，點(diǎn)B也恰好落在點(diǎn)P處，此時，PM＝AM，PN＝BN，△PMN的形狀是________等腰直角三角形．線段AM、BN、MN之間的數(shù)量關(guān)系是________MN)；

(2)如圖②，當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，線段MN、AM、BN之間的數(shù)量關(guān)系是________AM²＋BN²＝MN²．試證明你的猜想；

(3)當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖③的位置時，線段MN、AM、BN之間的數(shù)量關(guān)系是________AM²＋BN²＝MN²．(不要求證明)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)知：△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP．∴AM＝PM，∠A＝∠CPM，PN＝NB，∠B＝∠CPN．∴∠MPN＝∠A＋∠B＝90°，PM＝PN＝AM＝BN． 　　故△PMN是等腰直角三角形，AM2＋BN2＝MN2(或AM＝BN＝MN)． 　　(2)AM2＋BN2＝MN2． 　　證明：如圖，將△ACM沿CM折疊，得△DCM，連DN， 　　則△ACM≌△DCM，∴CD＝CA，DM＝AM，∠DCM＝∠ACM． 　　同理可知∠DCN＝∠BCN，△DCN≌△BCN，DN＝BN， 　　而∠MDC＝∠A＝45°，∠CDN＝∠B＝45°，∴∠MDN＝90°， 　　∴DM2＋DN2＝MN2，故AM2＋BN2＝MN2． 　　(3)AM2＋BN2＝MN2；解法同(2)．