【題目】在線段AB的同側(cè)作射線AM和BN,若∠MAB與∠NBA的平分線分別交射線BN,AM于點(diǎn)E,F(xiàn),AE和BF交于點(diǎn)P.如圖,點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)射線AM,BN交于點(diǎn)C;且∠ACB=60°時(shí),有以下兩個(gè)結(jié)論:
①∠APB=120°;②AF+BE=AB.
那么,當(dāng)AM∥BN時(shí):
(1)點(diǎn)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)求出∠APB的度數(shù),寫出AF,BE,AB長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系,并給予證明;
(2)設(shè)點(diǎn)Q為線段AE上一點(diǎn),QB=5,若AF+BE=16,四邊形ABEF的面積為32 ,求AQ的長(zhǎng).
【答案】
(1)
解:解:點(diǎn)點(diǎn)的結(jié)論:①∵∠ACB=60°,
∴∠BAC+∠ABC=120°,
∵∠MAB與∠NBA的平分線分別交射線BN,AM于點(diǎn)E,F(xiàn),
∴∠PAB+∠PBA= (∠PAB+∠PBA)=60°,
∴∠APB=120°,
②如圖,在AB上取一點(diǎn)G,使AG=AF,
∵AE是∠BAM的角平分線,
∴∠PAG=∠PAF,
在△PAG和△PAF中, ,
∴△PAG≌△PAF(SAS),
∴∠AFP=∠AGP,
∵∠EPF=∠APB=120°,∠ACB=60°,
∴∠EPF+∠ACB=180°,
∴∠PFC+∠PEC=180°,
∵∠PFC+∠AFP=180°,
∴∠PEC=∠AFP,
∴∠PEC=∠AGP,
∵∠AGP+∠BGP=180°,
∴∠PEC+∠BGP=180°,
∵∠PEC+∠PEB=180°,
∴∠BGP=∠BEP,
∵BF是∠ABC的角平分線,
∴∠PBG=∠PBE,
在△BPG和△BPE中, ,
∴△BPG≌△BPE(AAS),
∴BG=BE,
∴AF+BE=AB.
原命題不成立,新結(jié)論為:∠APB=90°,AF+BE=2AB(或AF=BE=AB),
理由:∵AM∥BN,
∴∠MAB+∠NBA=180°,
∵AE,BF分別平分∠MAB,NBA,
∴∠EAB= ∠MAB,∠FBA= ∠NBA,
∴∠EAB+∠FBA= (∠MAB+∠NBA)=90°,
∴∠APB=90°,
∵AE平分∠MAB,
∴∠MAE=∠BAE,
∵AM∥BN,
∴∠MAE=∠BAE,
∴∠BAE=∠BEA,
∴AB=BE,
同理:AF=AB,
∴AF+BE=2AB(或AF=BE=AB)
(2)
解:如圖1,
過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于G,
∵AF=BE,AF∥BE,
∴四邊形ABEF是平行四邊形,
∵AF+BE=16,
∴AB=AF=BE=8,
∵32 =8×FG,
∴FG=4 ,
在Rt△FAG中,AF=8,
∴∠FAG=60°,
當(dāng)點(diǎn)G在線段AB上時(shí),∠FAB=60°,
當(dāng)點(diǎn)G在線段BA延長(zhǎng)線時(shí),∠FAB=120°,
①如圖2,
當(dāng)∠FAB=60°時(shí),∠PAB=30°,
∴PB=4,PA=4 ,
∵BQ=5,∠BPA=90°,
∴PQ=3,
∴AQ=4 ﹣3或AQ=4 +3.
②如圖3,
當(dāng)∠FAB=120°時(shí),∠PAB=60°,∠FBG=30°,
∴PB=4 ,
∵PB=4 >5,
∴線段AE上不存在符合條件的點(diǎn)Q,
∴當(dāng)∠FAB=60°時(shí),AQ=4 ﹣3或4 +3.
【解析】點(diǎn)點(diǎn)的兩個(gè)結(jié)論:①利用三角形的角平分線和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論;②先判斷出△PAG≌△PAF(SAS)得出∠AFP=∠AGP,結(jié)合同角的補(bǔ)角相等即可得出∠BGP=∠BEP,進(jìn)而判斷出△BPG≌△BPE(AAS),即可得出結(jié)論;(1)由角平分線和平行線整體求出∠MAB+∠NBA,從而得到∠APB=90°,最后用等邊對(duì)等角,即可.(2)先根據(jù)條件求出AF,F(xiàn)G,求出∠FAG=60°,最后分兩種情況討論計(jì)算.
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某校七年級(jí)(1)、(2)兩個(gè)班104人去游園,其中七(1)班不足50人,(2)班超過(guò)50人,但不足100人。經(jīng)估算,如果兩個(gè)班都以班為單位購(gòu)票,則一共應(yīng)付1240元。問(wèn):
(1)兩班各有多少學(xué)生?
(2)如果兩班聯(lián)合起來(lái),作為一個(gè)團(tuán)體購(gòu)票,可省多少錢?
(3)如果七(1)班單獨(dú)組織去游園,作為組織者的你將如何購(gòu)票才最省錢?
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A.b2>4ac
B.ax2+bx+c≥﹣6
C.若點(diǎn)(﹣2,m),(﹣5,n)在拋物線上,則m>n
D.關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的兩根為﹣5和﹣1
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(1)求初期購(gòu)得的原材料噸數(shù)與每天所耗費(fèi)的原材料噸數(shù);
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【題目】(閱讀理解)
點(diǎn)A、B、C為數(shù)軸上三點(diǎn),如果點(diǎn)C在A、B之間且到A的距離是點(diǎn)C到B的距離3倍,那么我們就稱點(diǎn)C是{ A,B }的奇點(diǎn).
例如,如圖1,點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣3,點(diǎn)B表示的數(shù)為1.表示0的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是3,到點(diǎn)B的距離是1,那么點(diǎn)C是{ A,B }的奇點(diǎn);又如,表示﹣2的點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離是1,到點(diǎn)B的距離是3,那么點(diǎn)D就不是{A,B }的奇點(diǎn),但點(diǎn)D是{B,A}的奇點(diǎn).
(知識(shí)運(yùn)用)
如圖2,M、N為數(shù)軸上兩點(diǎn),點(diǎn)M所表示的數(shù)為﹣3,點(diǎn)N所表示的數(shù)為5.
(1)數(shù) 所表示的點(diǎn)是{ M,N}的奇點(diǎn);數(shù) 所表示的點(diǎn)是{N,M}的奇點(diǎn);
(2)如圖3,A、B為數(shù)軸上兩點(diǎn),點(diǎn)A所表示的數(shù)為﹣50,點(diǎn)B所表示的數(shù)為30.現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)向左運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)A停止.P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到數(shù)軸上的什么位置時(shí),P、A和B中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的奇點(diǎn)?
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