Question

17．已知△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，且$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{3}$，過$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow$，則$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$．（結果用$\overrightarrow{a}、\overrightarrow$表示）

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow$，利用三角形法則可求得$\overrightarrow{BC}$，然后由DE∥BC，易證得△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的對應邊成比例，求得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，
∵$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$$\overrightarrow$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$．

點評 此題考查了平面向量的知識以及相似三角形的判定與性質．注意掌握三角形法則的應用是關鍵．