Question

【題目】如圖，△AOB中，A（-8，0），B（0，），AC平分∠OAB，交y軸于點C，點P是x軸上一點，⊙P經過點A、C，與x軸交于點D，過點C作CE⊥AB，垂足為E，EC的延長線交x軸于點F．

（1）求證：EF為⊙P的切線；

（2）求⊙P的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）5

【解析】

（1）連接CP，根據等腰三角形的性質得到∠PAC=∠PCA，由角平分線的定義得到∠PAC=∠EAC，等量代換得到∠PCA=∠EAC，推出PC∥AE，于是得到結論；

（2）根據角平分線的定義得到∠BAC=∠OAC，根據等腰三角形的性質得到∠PCA=∠PAC，等量代換得到∠BAC=∠ACP，推出PC∥AB，根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）證明：連接CP， ∵AP=CP，

∴∠PAC=∠PCA，

∵AC平分∠OAB，

∴∠PAC=∠EAC，

∴∠PCA=∠EAC，

∴PC∥AE，

∵CE⊥AB，

∴CP⊥EF，

即EF是⊙P的切線；

（2）由（1）知，PC∥AB，

∴△OPC∽△OAB，

∴

∵A（-8，0），B（0，），

∴OA=8，OB=，

∴AB=，

∴ ，

∴PC=5，

∴⊙P的半徑為5．