Question

【題目】如圖，已知△ABC是等邊三角形，D是AB邊上任意一點(diǎn)，∠CDE=60°，DE與∠ABC外角平分線相交于點(diǎn)E.

(1)求證:CD=DE；

(2)若D是AB延長線上任意一點(diǎn)，∠CDE=60°，DE與∠ABC外角平分線相交于點(diǎn)E.請(qǐng)畫出圖形,判斷CD=DE是否還成立?若成立,請(qǐng)給予證明；若不成立,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立，證明見解析.

【解析】

（1）過點(diǎn)D作DF//BC，交AC于F，由等邊三角形的性質(zhì)可得AF=AD，進(jìn)而可得CF=BD，根據(jù)外角性質(zhì)可知∠FCD+∠CDF=60°，由∠CDE=60°，∠ADF=60°可得∠CDF+∠EDB=60°，進(jìn)而可得∠FCD=∠EDB，由BE是外角平分線可得∠CBE=60°，即可證明∠DBE=∠CFD=120°，即可證明△CFD≌△DEB，進(jìn)而可得CD=DE；（2）過點(diǎn)D作DP//BC，交AC延長線于點(diǎn)P，由等邊三角形及平行線性質(zhì)可得CP=BD，根據(jù)外角性質(zhì)可得∠PCD=∠A+∠ADC=60°+∠ADC，由∠BDE=∠CDE+∠ADC=60°+∠ADC可證明∠PCD=∠BDE，根據(jù)BE是外角平分線可得∠EBD=∠P=60°，即可證明△PCD≌△BDE，進(jìn)而可得CD=DE.

（1）如圖，過點(diǎn)D作DF//BC，交AC于F，

∵△ABC是等邊三角形，DF//BC，

∴CF=BD，∠AFD=60°，

∴∠CFD=180°-60°=120°，

∵DE是外角平分線，

∴∠CBE=60°，

∴∠DBE=120°，

∴∠CFD=∠DBE，

∵∠FCD+∠CDF=∠AFD=60°，∠BDE+∠CDF=180°-∠ADF-∠CDE=180°-60°-60°=60°，

∴∠FCD=∠BDE，

∴△CFD≌△DEB，

∴CD=DE.

（2）過點(diǎn)D作DP//BC，交AC延長線于點(diǎn)P，

∵△ABC是等邊三角形，DP//BC，

∴PC=BD，∠P=60°，

∵BE是外角平分線，

∴∠DBE=60°，

∴∠DBE=∠P，

∵∠PCD=∠A+∠ADC=60°+∠ADC，∠BDE=∠ADC+∠CDE=60°+∠ADC，

∴∠PCD=∠BDE，

∴△PCD≌△BDE，

∴CD=DE