【題目】如圖,平面直角坐標系中,直線AB:y=﹣x+b交y軸于A(0,1),交x軸于點B.過點E(1,0)作x軸的垂線EF交AB于點D,P是直線EF上一動點,且在點D的上方,設(shè)P(1,n).
(1)直線AB的表達式為__________________;
(2)①求△ABP的面積(用含n的代數(shù)式表示);
②當S△ABP=2時,求點P的坐標;
③在②的條件下,以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC,請直接寫出點C的坐標.
【答案】(1)y=﹣x+1;(2)①S△ABP=;②P(1,2);③(3,4)或(5,2)或(3,2).
【解析】
(1)把A的坐標代入直線AB的解析式即可求得b的值,由此即可求得直線AB的解析式;(2)①過點A作AM⊥PD,垂足為M,求得AM的長,再求得△BPD和△PAB的面積,二者的和即為△ABP的面積;②當S△ABP=2時,代入①中所得的代數(shù)式,求得n值,即可求得點P的坐標;③分P是直角頂點且BP=PC、B是直角頂點且BP=BC 、C是直角頂點且CP=CB三種情況求點C的坐標即可.
(1)∵y=-x+b經(jīng)過A(0,1),
∴b=1,
∴直線AB的解析式是y=-x+1;
故答案為:y=-x+1;
(2)①過點A作AM⊥PD,垂足為M,則有AM=1,
∵x=1時,y=-x+1=,P在點D的上方,
∴PD=n-,S△APD=PDAM=×1×(n )=n ,
由點B(3,0),可知點B到直線x=1的距離為2,即△BDP的邊PD上的高長為2,
∴S△BPD=PD×2=n-,
∴S△PAB=S△APD+S△BPD=n-+n-=n-1;
②當S△ABP=2時,n-1=2,
解得n=2,
∴點P(1,2).
③∵E(1,0),
∴PE=BE=2,
∴∠EPB=∠EBP=45°.
第1種情況,如圖1,∠CPB=90°,BP=PC,
過點C作CN⊥直線x=1于點N.
∵∠CPB=90°,∠EPB=45°,
∴∠NPC=∠EPB=45°,
在△CNP與△BEP中, ,
∴△CNP≌△BEP,
∴PN=NC=EB=PE=2,
∴NE=NP+PE=2+2=4,
∴C(3,4).
第2種情況,如圖2,∠PBC=90°,BP=BC,
過點C作CF⊥x軸于點F.
∵∠PBC=90°,∠EBP=45°,
∴∠CBF=∠PBE=45°,
在△CBP與△PBE中, ,
∴△CBF≌△PBE.
∴BF=CF=PE=EB=2,
∴OF=OB+BF=3+2=5,
∴C(5,2).
第3種情況,如圖3,∠PCB=90°,CP=CB,
∴∠CPB=∠CBP=45°,
∵∠EPB=∠EBP=45°,
∴∠PCB=∠CBE=∠EPC=90°,
∴四邊形EBCP為矩形,
∵CP=CB,
∴四邊形EBCP為正方形,
∴PC=CB=PE=EB=2,
∴C(3,2).
∴以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC,點C的坐標是(3,4)或(5,2)或(3,2).
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【題目】如圖,已知兩個全等直角三角形的直角頂點及一條直角邊重合,將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)到△A′CB′的位置,其中A′C交直線AD于點E,A′B′分別交直線AD,AC于點F,G.則旋轉(zhuǎn)后的圖中,全等三角形共有( 。
A. 2對 B. 3對 C. 4對 D. 5對
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=30°,其直角邊分別與坐標軸垂直,已知頂點的坐標為A(,0),C(0,1).
(1)如果A關(guān)于BC對稱的點是D,則點D的坐標為 ;
(2)過點B作直線m∥AC,交CD連線于E,求△BCE的面積.
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【題目】已知線段AB=(為常數(shù)),點C為直線AB上一點,點P、Q分別在線段BC、AC上,且滿足CQ=2AQ,CP=2BP.
(1)如圖,當點C恰好在線段AB中點時,則PQ=_______(用含的代數(shù)式表示);
(2)若點C為直線AB上任一點,則PQ長度是否為常數(shù)?若是,請求出這個常數(shù);若不是,請說明理由;
(3)若點C在點A左側(cè),同時點P在線段AB上(不與端點重合),請判斷2AP+CQ-2PQ與1的大小關(guān)系,并說明理由。
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【題目】如圖,正方形OABC的頂點O在坐標原點,頂點A的坐標為(4,3)
(1)頂點C的坐標為( , ),頂點B的坐標為( , );
(2)現(xiàn)有動點P、Q分別從C、A同時出發(fā),點P沿線段CB向終點B運動,速度為每秒1個單位,點Q沿折線A→O→C向終點C運動,速度為每秒k個單位,當運動時間為2秒時,以P、Q、C為頂點的三角形是等腰三角形,求此時k的值.
(3)若正方形OABC以每秒 個單位的速度沿射線AO下滑,直至頂點C落到x軸上時停止下滑.設(shè)正方形OABC在x軸下方部分的面積為S,求S關(guān)于滑行時間t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍.
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【題目】如圖,等腰直角△ABC中,AB=AC=8,以AB為直徑的半圓O交斜邊BC于D,則陰影部分面積為(結(jié)果保留π)( )
A.16
B.24﹣4π
C.32﹣4π
D.32﹣8π
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB= ,BC= ,點E在對角線BD上,且BE=1.8,連接AE并延長交DC于F,則 等于( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖,直線AB,CD相交于點O,過點O作兩條射線OM,ON,且∠AOM=∠CON=90°.
(1)若OC平分∠AOM,求∠AOD的度數(shù);
(2)若∠1=∠BOC,求∠AOC和∠MOD.
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【題目】如圖,在⊙O的內(nèi)接四邊形ACDB中,AB為直徑,AC:BC=1:2,點D為弧AB的中點,BE⊥CD垂足為E.
(1)求∠BCE的度數(shù);
(2)求證:D為CE的中點;
(3)連接OE交BC于點F,若AB= ,求OE的長度.
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