Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸正半軸上，頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，m）（5≤m≤7），反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交邊AB于點(diǎn)D．

（1）用m的代數(shù)式表示BD的長；

（2）設(shè)點(diǎn)P在該函數(shù)圖象上，且它的橫坐標(biāo)為m，連結(jié)PB，PD

①記矩形OABC面積與△PBD面積之差為S，求當(dāng)m為何值時，S取到最大值；

②將點(diǎn)D繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在x軸上時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）BD＝m﹣4（2）①m＝7時，S取到最大值②m＝2+2

【解析】

（1）先確定出點(diǎn)D橫坐標(biāo)為4，代入反比例函數(shù)解析式中求出點(diǎn)D橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；

（2）①先求出矩形OABC的面積和三角形PBD的面積得出S＝﹣（m﹣8）2+24，即可得出結(jié)論；②利用一線三直角判斷出DG＝PF，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解：（1）∵四邊形OABC是矩形，

∴AB⊥x軸上，

∵點(diǎn)B（4，m），

∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，

∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y＝上，

∴D（4，4），

∴BD＝m﹣4；

（2）①如圖1，∵矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，m），

∴S矩形OABC＝4m，

由（1）知，D（4，4），

∴S△PBD＝（m﹣4）（m﹣4）＝（m﹣4）2，

∴S＝S矩形OABC﹣S△PBD＝4m﹣（m﹣4）2＝﹣（m﹣8）2+24，

∴拋物線的對稱軸為m＝8，

∵a＜0，5≤m≤7，

∴m＝7時，S取到最大值；

②如圖2，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，過點(diǎn)D作DG⊥FP交FP的延長線于G，

∴∠DGP＝∠PFE＝90°，

∴∠DPG+∠PDG＝90°，

由旋轉(zhuǎn)知，PD＝PE，∠DPE＝90°，

∴∠DPG+∠EPF＝90°，

∴∠PDG＝∠EPF，

∴△PDG≌△EPF（AAS），

∴DG＝PF，

∵DG＝AF＝m﹣4，

∴P（m，m﹣4），

∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)y＝，

∴m（m﹣4）＝16，

∴m＝2+2或m＝2﹣2（舍）．