【題目】已知:正方形ABCD,E為平面內(nèi)任意一點(diǎn),連接DE,將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DG,連接EC,AG.
(1)當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)部時(shí),
①根據(jù)題意,在圖1中補(bǔ)全圖形;
②判斷AG與CE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并寫出證明思路.
(2)當(dāng)點(diǎn)B,D,G在一條直線時(shí),若AD=4,DG=,求CE的長(zhǎng).(可在備用圖中畫圖)
【答案】(1) ①見解析;②AG=CE,AG⊥CE,理由見解析;(2)CE的長(zhǎng)為或
【解析】
(1)①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可;
②先判斷出∠GDA=∠EDC,進(jìn)而得出△AGD≌△CED,即可得出AG=CE,延長(zhǎng)CE分別交AG、AD于點(diǎn)F、H,判斷出∠AFH=∠HDC=90°即可得出結(jié)論;
(2)分兩種情況,①當(dāng)點(diǎn)G在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí),②當(dāng)點(diǎn)G在線段BD上時(shí),構(gòu)造直角三角形利用勾股定理即可得出結(jié)論.
解:(1)當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)部時(shí),
①依題意,補(bǔ)全圖形如圖1:
②AG=CE,AG⊥CE.
理由:
在正方形ABCD,
∴AD=CD,∠ADC=90°,
∵由DE繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DG,
∴∠GDE=∠ADC=90°,GD=DE,
∴∠GDA=∠EDC
在△AGD和△CED中,
,
∴△AGD≌△CED,
∴AG=CE.
如圖2,延長(zhǎng)CE分別交AG、AD于點(diǎn)F、H,
∵△AGD≌△CED,
∴∠GAD=∠ECD,
∵∠AHF=∠CHD,
∴∠AFH=∠HDC=90°,
∴AG⊥CE.
(2)①當(dāng)點(diǎn)G在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3所示.
過(guò)G作GM⊥AD于M.
∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線,
∴∠ADB=∠GDM=45°.
∵GM⊥AD,DG=
∴MD=MG=2,
∴AM=AD+DM=6
在Rt△AMG中,由勾股定理得:AG==,
同(1)可證△AGD≌△CED,
∴CE=AG=
②當(dāng)點(diǎn)G在線段BD上時(shí),如圖4所示,
過(guò)G作GM⊥AD于M.
∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線,
∴∠ADG=45°
∵GM⊥AD,DG=
∴MD=MG=2,
∴AM=AD-MD=2
在Rt△AMG中,由勾股定理得:AG==,
同(1)可證△AGD≌△CED,
∴CE=AG=.
故CE的長(zhǎng)為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知C為線段AB的中點(diǎn),E為線段AB上的點(diǎn),點(diǎn)D為線段AE的中點(diǎn).
(1)若線段AB=a,CE=b,|a﹣15|+(b﹣4.5)2=0,求a,b的值;
(2)如圖1,在(1)的條件下,求線段DE的長(zhǎng);
(3)如圖2,若AB=15,AD=2BE,求線段CE的長(zhǎng).
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A(﹣2,1),B(1,n).
(1)試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求△ABO的面積;
(3)根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)值的自變量x的取值范圍.
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【題目】實(shí)驗(yàn)證明,平面鏡發(fā)射光線的規(guī)律是:射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等.
(1)如圖,一束光線m射到平面鏡a上,被a反射到平面鏡b上,又被b鏡反射,若被b鏡反射出的光線n與光線m平行,且∠1=50°,則∠2= ,∠3= ;
(2)在(1)中,若∠1=55°,則∠3= ;若∠1=30°,則∠3= ;
(3)由(1)、(2)請(qǐng)你猜想:當(dāng)兩平面鏡a、b的夾角∠3= °時(shí),可以使任何射到平面鏡a上的光線m,經(jīng)過(guò)平面鏡a、b的兩次反射后,入射光線m與發(fā)射光線n平行。請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在足夠大的空地上有一段長(zhǎng)為a米的舊墻MN,某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜園的一邊靠墻,另三邊一共用了100米木欄.
(1)若a=20,所圍成的矩形菜園的面積為450平方米,求所利用舊墻AD的長(zhǎng);
(2)求矩形菜園ABCD面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,把六張大小完全相同的小長(zhǎng)方形卡片(如圖①)不重疊無(wú)縫隙的放在一個(gè)底面為長(zhǎng)方形(長(zhǎng)為,寬為)的盒子底部(如圖②),盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示,則圖②中兩塊陰影部分的周長(zhǎng)之和是( )
A.B.C.D.
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【題目】在學(xué)習(xí)《展開與折疊》這一課時(shí),老師讓同學(xué)們將準(zhǔn)備好的正方體或長(zhǎng)方體沿某些棱剪開,展開成平面圖形.其中,阿中同學(xué)不小心多剪了一條棱,把一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒剪成了圖①、圖②兩部分.根據(jù)你所學(xué)的知識(shí),回答下列問(wèn)題:
(1)阿中總共剪開了幾條棱?
(2)現(xiàn)在阿中想將剪斷的圖②重新粘貼到圖①上去,而且經(jīng)過(guò)折疊以后,仍然可以還原成一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒,他有幾種粘貼方法?請(qǐng)?jiān)趫D①上畫出粘貼后的圖形(畫出一種即可);
(3)已知圖③是阿中剪開的圖①的某些數(shù)據(jù),求這個(gè)長(zhǎng)方體紙盒的體積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某長(zhǎng)方形廣場(chǎng)長(zhǎng)為a米,寬為b米;廣場(chǎng)的中間圓形綠地的半徑為米;廣場(chǎng)的死角都有一塊半徑相同的四分之一圓形的綠地,且圓形綠地的半徑也為米;
(1)請(qǐng)用代數(shù)式分別表示綠地的總面積和空地的面積(結(jié)果保留π);
(2)若長(zhǎng)方形長(zhǎng)為500米,寬為300米,求廣場(chǎng)空地的面積。(π取3.14,并保留兩個(gè)有效數(shù)學(xué))
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【題目】如圖所示,O為直線AB上一點(diǎn),OD平分∠AOC,∠DOE=90°.
(1)∠AOD的余角是 ______ ,∠COD的余角是 ______
(2)OE是∠BOC的平分線嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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