Question

10．某大型商場銷售A、B型兩種電視機，A型電視機每臺利潤為150元，B型電視機每臺的利潤為200元．
（1）該商場計劃一次購進兩種型號的電視機共100臺，其中A型電視機的進貨量不少于B型電視機的$\frac{1}{2}$，設購進A型電視機x臺，這100臺電視機的銷售總利潤為y元．
①求y關于x的函數關系式；
②該商場購進A型、B型電視機各多少臺，才能使銷售總利潤最大？
（2）實際進貨時，廠家對A型電視機出廠價下調m（0＜m＜150）元，且限定商場最多購進A型電視機65臺，若商場保持同種電視機的售價不變，請你根據以上信息及（1）中條件，設計出使這100臺電視機銷售總利潤最大的進貨方案．

Answer 1

分析 （1）①根據題意可以得到y(tǒng)關于x的函數關系式；
②根據一次函數的性質和x的取值范圍，可以得到使銷售總利潤最大的進貨方案；
（2）根據題意可以列出相應的函數解析式，然后討論m的取值范圍，即可解答本題．

解答 解：（1）①由題意可得，
y=150x+200（100-x）=-50x+20000，
∵x≥$\frac{1}{2}$（100-x），
解得，x$≥\frac{100}{3}$，
∵x是整數，x不大于100，
∴34≤x≤100，
即y關于x的函數關系式是y=-50x+20000（34≤x≤100）；
②∵y=-50x+20000（34≤x≤100），-50＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴當x=34時，y取得最大值，此時y=-50×34+20000=18300，
100-34=66，
即該商場購進A型電視機34臺、B型電視機66臺，才能使銷售總利潤最大；
（2）∵x≥$\frac{1}{2}$（100-x），
解得，x$≥\frac{100}{3}$，
∵x是整數，x不大于65，
∴34≤x≤65，
此時，y=（150+m）x+200（100-x）=（m-50）x+20000，
∵0＜m＜150，
∴當0＜m＜50時，m-50＜0，y隨x的增大而減小，
∴x=34時，y取得最大值，此時y=18300+34m；
當m=50時，y=20000不變；
當50＜m＜150時，m-50＞0，此時y隨x的增大而增大，
∴當x=65時，y取得最大值，此時y=65m+16750，
由上可得，當0＜m＜50時，使這100臺電視機銷售總利潤最大的進貨方案是A型號電視機34臺，B型號電視機66臺；當m=50時，只要A型號的電視機在34≤x≤65之間，B型號的電視相應的為（100-x）臺；當50＜m＜150時，使這100臺電視機銷售總利潤最大的進貨方案是A型號電視機65臺，B型號的電視機35臺．

點評 本題考查一次函數的應用，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用分類討論的數學思想解答問題．