【題目】如圖,已知AC是矩形ABCD的對角線,AC的垂直平分線EF分別交BC、AD于點E和F,EF交AC于點O.
(1)求證:四邊形AECF是菱形;(2)若AB=6,AD=8,求四邊形AECF的周長.
【答案】(1)見解析;(2)25
【解析】
(1)根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可判斷;
(2)設(shè)AE=EC為x,利用勾股定理解答即可.
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形
∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,
∵EF垂直平分AC,
∴AF=FC,AE=EC,
∴∠FAC=∠FCA,
∴∠FCA=∠ACB,
∵∠FCA+∠CFE=90°,∠ACB+∠CEF=90°,
∴∠CFE=∠CEF,
∴CE=CF,
∴AF=FC=CE=AE,
∴四邊形AECF是菱形.
(2)設(shè)AE=EC為x,則BE=(8-x)
在Rt△ABE中,AE2=AB2+BE2,
即x2=62+(8-x)2,
解得:x=,
所以四邊形AECF的周長=×4=25.
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【題目】如圖,AD∥BC,BD為∠ABC的角平分線,DE、DF分別是∠ADB和∠ADC的角平分線,且∠BDF=α,則∠A與∠C的等量關(guān)系是________________(等式中含有α)
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【題目】(知識鏈接)斐波那契(約 1170﹣1250,意大利數(shù)學(xué)家)數(shù)列是按某種規(guī)律排列的一列數(shù),他發(fā)現(xiàn)該數(shù)列中的每個正整數(shù)都可以用無理數(shù)的形式表示,如第 n(n 為正整數(shù))個數(shù) an 可表示為.
(知識運用)計算第一個數(shù) a1 和第二個數(shù) a2;
(探究證明)證明連續(xù)三個數(shù)之間 an﹣1,an,an+1 存在以下關(guān)系:an+1﹣an=an﹣1(n≥2).
(探究拓展)根據(jù)上面的關(guān)系,請寫出斐波那契數(shù)列中的前 8 個數(shù).
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【題目】如圖△ABC中,分別延長邊AB、BC、CA,使得BD=AB,CE=2BC,AF=3CA,若△ABC的面積為1,則△DEF的面積為________.
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【題目】如圖:線段AB的端點在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上,現(xiàn)將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC.
(1)請你用直尺和圓規(guī)在所給的網(wǎng)格中畫出線段AC及點B經(jīng)過的路徑;
(2)若將此網(wǎng)格放在一平面直角坐標(biāo)系中,已知點A的坐標(biāo)為(1,3),點B的坐標(biāo)為(﹣2,﹣1),則點C的坐標(biāo)為;
(3)線段AB在旋轉(zhuǎn)到線段AC的過程中,線段AB掃過區(qū)域的面積為
(4)若有一張與(3)中所說的區(qū)域形狀相同的紙片,將它圍成一個圓錐的側(cè)面,則該圓錐底面圓的半徑長為 .
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【題目】如圖,四邊形ABCD與ECGF是兩個邊長分別為a、b的正方形,
(1)用a、b表示△BGF的面積的代數(shù)式S1=
(2)當(dāng)a=4cm、b=6cm時,求△BGF的面積.
(3)求出陰影部分的面積的代數(shù)式S2 (用a、b表示)
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【題目】如圖,方格紙中每個小正方形的邊長都是單位1,△ABC的三個頂點都在格點上,結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系解答下列問題:
(1)將△ABC向右平移3個單位長度再向下平移2個單位長度,畫出兩次平移后的△A1B1C1;
(2)寫出A1、C1的坐標(biāo);
(3)將△A1B1C1繞C1逆時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C1 , 求△A1B1C1旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積(結(jié)果保留π)
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,過點B作BE∥AC,在BG上取點E,連接DE交AC的延長線于點F.
(1)求證:DF=EF;
(2)如果AD=2,∠ADC=60°,AC⊥DC于點C,AC=2CF,求BE的長.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC 的三個頂點的位置如圖所示,點 A′的坐標(biāo)是(-2,2),現(xiàn)將△ABC 平移,使點 A 變換為點 A′,點 B′、C′分別是 B、C 的對應(yīng)點.
(1) 請畫出平移后的△A′B′C′(不寫畫法),并直接寫出點B′、C′的坐標(biāo):B′ 、C′ ;
(2) 若△ABC 內(nèi)部一點 P 的坐標(biāo)為(,),則點 P 的對應(yīng)點 P′的坐標(biāo)是 ;
(3) 連接 A′B,CC′,并求四邊形 A′BCC′的面積.
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