Question

已知矩形ABCD的一邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)。

（1）如圖甲已知折痕AO交BC于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA

     ①求證：△OCP∽△PDA。

     ②若△OCP與△PDA的面積比為1:4，求邊AB。

（2）若圖甲中點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求∠OAB。

（3）如圖乙在（1）的條件下，擦去折痕OA，線段OP，連接BP，動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)H在線段AB的延長(zhǎng)線上且BH=PM，連接MH交PB于F，作ME⊥BP于E，試問當(dāng)點(diǎn)M、H在移動(dòng)過程中，線段EF的長(zhǎng)度是否會(huì)發(fā)生變化，若發(fā)生變化，說明理由，若不變，求出EF的長(zhǎng)度。

 

Answer 1

（1）

①證明：∵四邊形ABCD為矩形

        ∴∠C=∠D=∠B=90°

       又∵∠APO=∠B=90°

       ∴∠APD+∠OPC=90°

       又∵∠APD+∠PAD=90°

  ∴∠PAD=∠OPC

   ∴△OCP∽△PDA   …………3分

②∵△OCP∽△PDA  =

 ∴=

 ∴PC=4    ……………4分

設(shè)AB=CD=PA=X則 PD=X-4

由DA²+PD²=PA²

  8²+（X-4）²=X²

         X=10

∴AB=10     …………6分

(2)若點(diǎn)P恰好是CD的中點(diǎn)

   則PD=CD=AB=PA

  ∴∠PAD=30°

  ∴∠OAB=30°   …………8分

（3）不變

  過M作MG∥AB于G，則∠PBA=∠PGM

 ∵AB=AP

 ∴∠APB=∠PBA

∴∠APG=∠PGM

∴PM=MG=BH                             

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