Question

如圖，矩形ABCD，AB=2，AD=3，點(diǎn)P為AD上一點(diǎn)，PE⊥PC，交AB于E點(diǎn)，點(diǎn)Q在AP上不與P點(diǎn)重合，且QE⊥QC，
（1）求證：AP•DP=AE•DC；
（2）求AP+AQ的值．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠A=∠D=90°，
∵PE⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°，∠APE+∠DPC=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∵∠A=∠D，
∴△AEP∽△DPC，
∴=，
∴AP•DP=AE•DC．

（2）解：連接CE，取CE中點(diǎn)F，過(guò)F作FG∥CD交AD于G，
∵AB∥CD，∠A=90°，
∴AE∥FG∥CD，
∴AG=DGAD=，F(xiàn)G⊥AD，
∵QE⊥CE，PE⊥PC，
∴∠EQC=∠EPC=90°，
∵F為CE中點(diǎn)，
∴QF=CE，PF=CE，
∴QF=PF，
∵FG⊥AD，
∴QG=PG，
∴AP+AQ=AG+GP+AG-GQ=2AG=2×=3．
分析：（1）求出∠A=∠D，∠AEP=∠DPC，證出△AEP∽△DPC即可．
（2）連接CE，取CE中點(diǎn)F，過(guò)F作FG∥CD交AD于G，求出AG=DG，求出QF=PF，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出QG=PG，即可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．