【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于A、B兩點,其中點A坐標為(﹣3,0),與y軸交于點C(0,3).
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點M為拋物線y=﹣x2+bx+c上異于點C的一個點,且S△OMC=S△ABC,求點M的坐標;
(3)若點P為x軸上方拋物線上任意一點,點D是拋物線對稱軸與x軸的交點,直線AP、BP分別交拋物線的對稱軸于點E、F.請問DE+DF是否為定值?如果是,請求出這個定值;如果不是,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)(2,﹣5)或(﹣2,3);(3)是定值,8
【解析】
(1)將點A、C的坐標代入拋物線表達式,即可求解;
(2)S△ABC=××AB×OC=×4×3=3,而S△OMC=×OC×||=||=3,即可求解;
(3)求出直線AP、BP的函數(shù)表達式,即可求解.
解:(1)將點A、C的坐標代入拋物線表達式得,解得,
故拋物線的表達式為:y=﹣x2﹣2x+3;
(2)對于拋物線y=﹣x2﹣2x+3,令y=0,則x=﹣3或1,
故點B(1,0),
∴S△ABC=××AB×OC=×4×3=3,
∵S△OMC=×OC×||=||=3,解得:=±2,
故點M的坐標為(2,﹣5)或(﹣2,3);
(3)是定值,理由:
設點P的坐標為(m,﹣m2﹣2m+3),
設直線AP的表達式為:y=kx+t,則,解得,
故直線AP的表達式為:y=﹣(m﹣1)(x+3),
當x==﹣1時,y=2﹣2m,即點E(﹣1,2﹣2m),即DE=2﹣2m,
同理可得,直線BP的表達式為:y=﹣(m+3)(x﹣1),
當x=﹣1時,y=2m+6,故點F(﹣1,2m+6),即DF=2m+6,
∴DE+DF=2﹣2m+2m+6=8,為定值.
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【題目】在邊長為2的正方形ABCD中,P為AB上的一動點,E為AD中點,PE交CD延長線于Q,過E作EF⊥PQ交BC的延長線于F,則下列結(jié)論:①△APE≌△DQE;②PQ=EF;③當P為AB中點時,CF=;④若H為QC的中點,當P從A移動到B時,線段EH掃過的面積為1,其中正確的有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】用A、B兩種機器人搬運大米,A型機器人比B型機器人每小時多搬運20袋大米,A型機器人搬運700袋大米與B型機器人搬運500袋大米所用時間相等.求A、B型機器人每小時分別搬運多少袋大米.
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【題目】如圖,已知點E,H在矩形ABCD的AD邊上,點F,G在BC邊上,將矩形ABCD沿EF,GH折疊,使點B和點C落在AD邊上同一點P處.折疊后,點A的對應點為點A',點D的對應點為點D',若∠FPG=90°,A'E=3,D'H=1,則矩形ABCD的周長等于_____.
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【題目】規(guī)定:在平面內(nèi),如果一個圖形繞一個定點旋轉(zhuǎn)一定的角度α(0°<α≤180°)后能與自身重合,那么就稱這個圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形,轉(zhuǎn)動的這個角度α稱為這個圖形的一個旋轉(zhuǎn)角.例如:正方形繞著兩條對角線的交點O旋轉(zhuǎn)90°或180°后,能與自身重合(如圖1),所以正方形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形,且有兩個旋轉(zhuǎn)角.根據(jù)以上規(guī)定,回答問題:
(1)下列圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形,但不是中心對稱圖形的是________;
A.矩形 B.正五邊形 C.菱形 D.正六邊形
(2)下列圖形中,是旋轉(zhuǎn)對稱圖形,且有一個旋轉(zhuǎn)角是60度的有:________(填序號);
(3)下列三個命題:①中心對稱圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形;②等腰三角形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形;③圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形,其中真命題的個數(shù)有( )個;
A.0 B.1 C.2 D.3
(4)如圖2的旋轉(zhuǎn)對稱圖形由等腰直角三角形和圓構(gòu)成,旋轉(zhuǎn)角有45°,90°,135°,180°,將圖形補充完整.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,AD=2,E是邊CD上一點,將△ADE沿直線AE折疊得到△AFE,BF的延長線交邊CD于點G,則DG的最大值為_____.
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【題目】對于平面直角坐標系內(nèi)任意一點P,過P點作軸于點M,軸于點N,連接,則稱的長度為點P的垂點距離,記為h.特別地,點P與原點重合時,垂點距離為0.
(1)點的垂點距離分別為________,___________,____________;
(2)點P在以為圓心,半徑為3的上運動,求出點P的垂點距離h的取值范圍;
(3)點T為直線位于第二象限內(nèi)的一點,對于點T的垂點距離h的每個值有且僅有一個點T與之對應,求點T的橫坐標t的取值范圍.
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【題目】某社會團體準備購進甲、乙兩種防護服捐給一線抗疫人員,經(jīng)了解,購進5件甲種防護服和4件乙種防護服需要2萬元,購進10件甲種防護服和3件乙種防護服需要3萬元.
(1)甲種防護服和乙種防護服每件各多少元?
(2)實際購買時,發(fā)現(xiàn)廠家有兩種優(yōu)惠方案,方案一:購買甲種防護服超過20件時,超過的部分按原價的8折付款,乙種防護服沒有優(yōu)惠;方案二:兩種防護服都按原價的9折付款,該社會團體決定購買件甲種防護服和30件乙種防護服.
①求兩種方案的費用與件數(shù)的函數(shù)解析式;
②請你幫該社會團體決定選擇哪種方案更合算.
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