【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+cx軸于A、B兩點,其中點A坐標為(3,0),與y軸交于點C(0,3)

1)求拋物線的函數(shù)解析式;

2)點M為拋物線y=﹣x2+bx+c上異于點C的一個點,且SOMCSABC,求點M的坐標;

3)若點Px軸上方拋物線上任意一點,點D是拋物線對稱軸與x軸的交點,直線AP、BP分別交拋物線的對稱軸于點E、F.請問DE+DF是否為定值?如果是,請求出這個定值;如果不是,請說明理由.

【答案】1y=﹣x22x+3;(2(2,﹣5)(2,3);(3)是定值,8

【解析】

1)將點A、C的坐標代入拋物線表達式,即可求解;

2SABC××AB×OC×4×33,而SOMC×OC×||||3,即可求解;

3)求出直線AP、BP的函數(shù)表達式,即可求解.

解:(1)將點AC的坐標代入拋物線表達式得,解得,

故拋物線的表達式為:y=﹣x22x+3;

2)對于拋物線y=﹣x22x+3,令y0,則x=﹣31

故點B1,0),

SABC××AB×OC×4×33,

SOMC×OC×||||3,解得:±2,

故點M的坐標為(2,﹣5)或(﹣2,3);

3)是定值,理由:

設點P的坐標為(m,﹣m22m+3),

設直線AP的表達式為:ykx+t,則,解得,

故直線AP的表達式為:y=﹣(m1)(x+3),

x=﹣1時,y22m,即點E(﹣1,22m),即DE22m,

同理可得,直線BP的表達式為:y=﹣(m+3)(x1),

x=﹣1時,y2m+6,故點F(﹣1,2m+6),即DF2m+6,

DE+DF22m+2m+68,為定值.

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A0 B1 C2 D3

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