Question

如圖，五邊形ABCDE的5條邊相等，5個(gè)內(nèi)角也相等．問圖中有

 

條線段被點(diǎn)F黃金分割？

Answer 1

考點(diǎn)：黃金分割,等腰三角形的判定,正多邊形和圓,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：推理填空題

分析：由條件可知五邊形ABCDE是正五邊形，設(shè)正五邊形ABCDE的外接圓為⊙O，如圖所示．易證DG=DF=CF，△FGD∽△DGC，進(jìn)而證到

FG

CF

=

CF

GC

，即線段CG被點(diǎn)F黃金分割；同理，線段CE、DN、BD都被點(diǎn)F黃金分割，從而解決問題．

解答：解：∵五邊形ABCDE的5條邊相等，5個(gè)內(nèi)角也相等，
∴五邊形ABCDE是正五邊形．
設(shè)正五邊形ABCDE的外接圓為⊙O，如圖所示．
則∠ADB=∠ECD=∠BDC=

1

2

×

360°

5

=36°．
∴∠CDG=72°，∠CGD=180°-36°-72°=72°．
∴∠GFD=180°-36°-72°=72°．
∴∠DGF=∠DFG=72°，∠FCD=∠FDC=36°．
∴DG=DF=CF．
∵∠GDF=∠GCD=36°，∠FGD=∠DGC，
∴△FGD∽△DGC．
∴

FG

DG

=

DG

GC

．
∴

FG

CF

=

CF

GC

．
∴點(diǎn)F是線段CG的黃金分割點(diǎn)，即線段CG被點(diǎn)F黃金分割．
同理可得：線段CE、DN、BD都被點(diǎn)F黃金分割．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了黃金分割、正多邊形與圓、圓周角與弧的關(guān)系、等腰三角形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，有一定的綜合性．